График функции y = (x^2*(x-3))^(1/3)

Вы ввели

          ____________
       3 /  2         
f(x) = \/  x *(x - 3) 

$$f{\left (x \right )} = \sqrt[3]{x^{2} \left(x - 3\right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt[3]{x^{2} \left(x - 3\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2*(x - 3))^(1/3).
$$\sqrt[3]{-3 \cdot 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{\sqrt[3]{x - 3} \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} \left(x - 3\right)} \left(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} \left(x - 3\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

    3 ____ 
(2, \/ -4 )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{1}{x} \left(\frac{1}{3 x - 9} \left(x - 2\right) \left(\frac{2}{\sqrt[3]{\left|{x}\right|}} \sqrt[3]{x - 3} \operatorname{sign}{\left (x \right )} + \frac{\left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}}\right) - \frac{\left(x - 2\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 3\right)^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \left(x - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x^{2} \left(x - 3\right)} = \infty \sqrt[3]{-1}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty \sqrt[3]{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x^{2} \left(x - 3\right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2*(x - 3))^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x} \sqrt[3]{x - 3}\right) = - \sqrt[3]{-1}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \sqrt[3]{-1} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x} \sqrt[3]{x - 3}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt[3]{x^{2} \left(x - 3\right)} = \sqrt[3]{- x - 3} \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- Нет
$$\sqrt[3]{x^{2} \left(x - 3\right)} = - \sqrt[3]{- x - 3} \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной