График функции y = (x^2*(x-3))^(1/3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          ____________
       3 /  2         
f(x) = \/  x *(x - 3) 
f(x)=x2(x3)3f{\left (x \right )} = \sqrt[3]{x^{2} \left(x - 3\right)}
График функции
4681012141618020
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x2(x3)3=0\sqrt[3]{x^{2} \left(x - 3\right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=3x_{2} = 3
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
x2=3x_{2} = 3
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2*(x - 3))^(1/3).
3023\sqrt[3]{-3 \cdot 0^{2}}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
x33x23x2(x3)(x23+2x3(x3))=0\frac{\sqrt[3]{x - 3} \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2} \left(x - 3\right)} \left(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} \left(x - 3\right)\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = 2
Зн. экстремумы в точках:
    3 ____ 
(2, \/ -4 )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1x(13x9(x2)(2x3x33sign(x)+x23(x3)23)(x2)x23(x3)532(x2)x23x(x3)23+2(x1)x23x(x3)23)=0\frac{1}{x} \left(\frac{1}{3 x - 9} \left(x - 2\right) \left(\frac{2}{\sqrt[3]{\left|{x}\right|}} \sqrt[3]{x - 3} \operatorname{sign}{\left (x \right )} + \frac{\left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}}\right) - \frac{\left(x - 2\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 3\right)^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \left(x - 2\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \left(x - 1\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}}\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxx2(x3)3=13\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x^{2} \left(x - 3\right)} = \infty \sqrt[3]{-1}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=13y = \infty \sqrt[3]{-1}
limxx2(x3)3=\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x^{2} \left(x - 3\right)} = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2*(x - 3))^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x23xx33)=13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x} \sqrt[3]{x - 3}\right) = - \sqrt[3]{-1}
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=13xy = - \sqrt[3]{-1} x
limx(x23xx33)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x} \sqrt[3]{x - 3}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xy = x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x2(x3)3=x33x23\sqrt[3]{x^{2} \left(x - 3\right)} = \sqrt[3]{- x - 3} \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}
- Нет
x2(x3)3=x33x23\sqrt[3]{x^{2} \left(x - 3\right)} = - \sqrt[3]{- x - 3} \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной