График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: 3x2(x−3)=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=0 x2=3 Численное решение x1=0 x2=3
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (x^2*(x - 3))^(1/3). 3−3⋅02 Результат: f(0)=0 Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная x2(x−3)3x−3∣x∣32(3x2+32x(x−3))=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=2 Зн. экстремумы в точках:
3 ____
(2, \/ -4 )
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нет Максимумов у функции нет Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная x1(3x−91(x−2)(3∣x∣23x−3sign(x)+(x−3)32∣x∣32)−(x−3)35(x−2)∣x∣32−x(x−3)322(x−2)∣x∣32+x(x−3)322(x−1)∣x∣32)=0 Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim3x2(x−3)=∞3−1 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=∞3−1 x→∞lim3x2(x−3)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2*(x - 3))^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x∣x∣323x−3)=−3−1 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: y=−3−1x x→∞lim(x∣x∣323x−3)=1 Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты справа: y=x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: 3x2(x−3)=3−x−3∣x∣32 - Нет 3x2(x−3)=−3−x−3∣x∣32 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной