График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x2−28x+96log(x)+31=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Численное решение x1=0.94496990871
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^2 - 28*x + 96*log(x) + 31. 96log(0)+02−0+31 Результат: f(0)=∞~ зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная 2x−28+x96=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=6 x2=8 Зн. экстремумы в точках:
(6, -101 + 96*log(6))
(8, -129 + 96*log(8))
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x2=8 Максимумы функции в точках: x2=6 Убывает на промежутках
(-oo, 6] U [8, oo)
Возрастает на промежутках
[6, 8]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная 2(1−x248)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−43 x2=43
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
(-oo, -4*sqrt(3)] U [4*sqrt(3), oo)
Выпуклая на промежутках
[-4*sqrt(3), 4*sqrt(3)]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x2−28x+96log(x)+31)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(x2−28x+96log(x)+31)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 - 28*x + 96*log(x) + 31, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1(x2−28x+96log(x)+31))=−∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(x1(x2−28x+96log(x)+31))=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x2−28x+96log(x)+31=x2+28x+96log(−x)+31 - Нет x2−28x+96log(x)+31=−x2−28x−96log(−x)−31 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной