График функции y = x^2-28*x+96*log(x)+31

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        2                        
f(x) = x  - 28*x + 96*log(x) + 31
f(x)=x228x+96log(x)+31f{\left (x \right )} = x^{2} - 28 x + 96 \log{\left (x \right )} + 31
График функции
24.67524.70024.72524.75024.77524.80024.82524.85024.87524.90024.925255265
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x228x+96log(x)+31=0x^{2} - 28 x + 96 \log{\left (x \right )} + 31 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
x1=0.94496990871x_{1} = 0.94496990871
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2 - 28*x + 96*log(x) + 31.
96log(0)+020+3196 \log{\left (0 \right )} + 0^{2} - 0 + 31
Результат:
f(0)=~f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2x28+96x=02 x - 28 + \frac{96}{x} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=6x_{1} = 6
x2=8x_{2} = 8
Зн. экстремумы в точках:
(6, -101 + 96*log(6))

(8, -129 + 96*log(8))


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=8x_{2} = 8
Максимумы функции в точках:
x2=6x_{2} = 6
Убывает на промежутках
(-oo, 6] U [8, oo)

Возрастает на промежутках
[6, 8]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2(148x2)=02 \left(1 - \frac{48}{x^{2}}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=43x_{1} = - 4 \sqrt{3}
x2=43x_{2} = 4 \sqrt{3}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -4*sqrt(3)] U [4*sqrt(3), oo)

Выпуклая на промежутках
[-4*sqrt(3), 4*sqrt(3)]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x228x+96log(x)+31)=\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} - 28 x + 96 \log{\left (x \right )} + 31\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x228x+96log(x)+31)=\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 28 x + 96 \log{\left (x \right )} + 31\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 - 28*x + 96*log(x) + 31, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(x228x+96log(x)+31))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} - 28 x + 96 \log{\left (x \right )} + 31\right)\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(1x(x228x+96log(x)+31))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} - 28 x + 96 \log{\left (x \right )} + 31\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x228x+96log(x)+31=x2+28x+96log(x)+31x^{2} - 28 x + 96 \log{\left (x \right )} + 31 = x^{2} + 28 x + 96 \log{\left (- x \right )} + 31
- Нет
x228x+96log(x)+31=x228x96log(x)31x^{2} - 28 x + 96 \log{\left (x \right )} + 31 = - x^{2} - 28 x - 96 \log{\left (- x \right )} - 31
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной