График функции y = ((x^2)-2*x+2)/(x-1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        2          
       x  - 2*x + 2
f(x) = ------------
          x - 1    
f(x)=x22x+2x1f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1}
График функции
05-15-10-51015-5050
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=1x_{1} = 1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x22x+2x1=0\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 2*x + 2)/(x - 1).
11(020+2)\frac{1}{-1} \left(0^{2} - 0 + 2\right)
Результат:
f(0)=2f{\left (0 \right )} = -2
Точка:
(0, -2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2x2x1x22x+2(x1)2=0\frac{2 x - 2}{x - 1} - \frac{x^{2} - 2 x + 2}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Зн. экстремумы в точках:
(0, -2)

(2, 2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=2x_{2} = 2
Максимумы функции в точках:
x2=0x_{2} = 0
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [2, oo)

Возрастает на промежутках
[0, 2]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1x1(2+1(x1)2(2x24x+4))=0\frac{1}{x - 1} \left(-2 + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(2 x^{2} - 4 x + 4\right)\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=1x_{1} = 1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x22x+2x1)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x22x+2x1)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 2*x + 2)/(x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x22x+2x(x1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xy = x
limx(x22x+2x(x1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xy = x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x22x+2x1=x2+2x+2x1\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1} = \frac{x^{2} + 2 x + 2}{- x - 1}
- Нет
x22x+2x1=x2+2x+2x1\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1} = - \frac{x^{2} + 2 x + 2}{- x - 1}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной