График функции y = 1/3*x*sqrt(x)-9*x+59

Вы ввели

           ___           
       x*\/ x            
f(x) = ------- - 9*x + 59
          3              

$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x} x}{3} - 9 x + 59$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sqrt{x} x}{3} - 9 x + 59 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 243 + \frac{55863}{\sqrt[3]{\frac{26406549}{2} + \frac{531 \sqrt{53867} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{26406549}{2} + \frac{531 \sqrt{53867} i}{2}}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sqrt(x)/3 - 9*x + 59.
$$\frac{1}{3} \cdot 0 \sqrt{0} - 9 \cdot 0 + 59$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 59$$
Точка:

(0, 59)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{\sqrt{x}}{2} - 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 324$$
Зн. экстремумы в точках:

(324, -913)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{1}{4 \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} x}{3} - 9 x + 59\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} x}{3} - 9 x + 59\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sqrt(x)/3 - 9*x + 59, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sqrt{x} x}{3} - 9 x + 59}{x}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sqrt{x} x}{3} - 9 x + 59}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sqrt{x} x}{3} - 9 x + 59 = - \frac{x \sqrt{- x}}{3} + 9 x + 59$$
- Нет
$$\frac{\sqrt{x} x}{3} - 9 x + 59 = \frac{x \sqrt{- x}}{3} - 9 x - 59$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График