График функции y = x^3/3-5*x^2/2+6*x-7

        3      2          
       x    5*x           
f(x) = -- - ---- + 6*x - 7
       3     2            

$$f{\left (x \right )} = 6 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 7$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$6 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 7 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{4 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{210}}{4} + \frac{29}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{210}}{4} + \frac{29}{8}} + \frac{5}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 4.56442897697$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/3 - 5*x^2/2 + 6*x - 7.
$$-7 + \frac{0^{3}}{3} - 0 + 0 \cdot 6$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -7$$
Точка:

(0, -7)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{2} - 5 x + 6 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:

(2, -7/3)

(3, -5/2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Убывает на промежутках

(-oo, 2] U [3, oo)

Возрастает на промежутках

[2, 3]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 x - 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[5/2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 5/2]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(6 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 7\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 7\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 - 5*x^2/2 + 6*x - 7, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(6 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 7\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(6 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 7\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$6 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 7 = - \frac{x^{3}}{3} - 6 x - \frac{5 x^{2}}{2} - 7$$
- Нет
$$6 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 7 = - \frac{-1 x^{3}}{3} - - 6 x - - \frac{5 x^{2}}{2} + 7$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной