График функции y = x^3/3-5*x^2/2+6*x-7

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        3      2          
       x    5*x           
f(x) = -- - ---- + 6*x - 7
       3     2            
f(x)=6x+x335x227f{\left (x \right )} = 6 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 7
График функции
-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.0-5050
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
6x+x335x227=06 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 7 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=142104+2983+2104+2983+52x_{1} = \frac{1}{4 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{210}}{4} + \frac{29}{8}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{210}}{4} + \frac{29}{8}} + \frac{5}{2}
Численное решение
x1=4.56442897697x_{1} = 4.56442897697
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/3 - 5*x^2/2 + 6*x - 7.
7+0330+06-7 + \frac{0^{3}}{3} - 0 + 0 \cdot 6
Результат:
f(0)=7f{\left (0 \right )} = -7
Точка:
(0, -7)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
x25x+6=0x^{2} - 5 x + 6 = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = 2
x2=3x_{2} = 3
Зн. экстремумы в точках:
(2, -7/3)

(3, -5/2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=3x_{2} = 3
Максимумы функции в точках:
x2=2x_{2} = 2
Убывает на промежутках
(-oo, 2] U [3, oo)

Возрастает на промежутках
[2, 3]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2x5=02 x - 5 = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=52x_{1} = \frac{5}{2}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[5/2, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 5/2]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(6x+x335x227)=\lim_{x \to -\infty}\left(6 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 7\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(6x+x335x227)=\lim_{x \to \infty}\left(6 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 7\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 - 5*x^2/2 + 6*x - 7, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(6x+x335x227))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(6 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 7\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(1x(6x+x335x227))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(6 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 7\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
6x+x335x227=x336x5x2276 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 7 = - \frac{x^{3}}{3} - 6 x - \frac{5 x^{2}}{2} - 7
- Нет
6x+x335x227=1x336x5x22+76 x + \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 7 = - \frac{-1 x^{3}}{3} - - 6 x - - \frac{5 x^{2}}{2} + 7
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной