График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: 6x+3x3−25x2−7=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=434210+8291+34210+829+25 Численное решение x1=4.56442897697
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^3/3 - 5*x^2/2 + 6*x - 7. −7+303−0+0⋅6 Результат: f(0)=−7 Точка:
(0, -7)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная x2−5x+6=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=2 x2=3 Зн. экстремумы в точках:
(2, -7/3)
(3, -5/2)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x2=3 Максимумы функции в точках: x2=2 Убывает на промежутках
(-oo, 2] U [3, oo)
Возрастает на промежутках
[2, 3]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная 2x−5=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=25
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
[5/2, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, 5/2]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(6x+3x3−25x2−7)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(6x+3x3−25x2−7)=∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 - 5*x^2/2 + 6*x - 7, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1(6x+3x3−25x2−7))=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(x1(6x+3x3−25x2−7))=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: 6x+3x3−25x2−7=−3x3−6x−25x2−7 - Нет 6x+3x3−25x2−7=−3−1x3−−6x−−25x2+7 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной