График функции y = (sin(log(x^2+1)-1))/pi

Вы ввели

          /   / 2    \    \
       sin\log\x  + 1/ - 1/
f(x) = --------------------
                pi         

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{\pi} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{\pi} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{-1 + e}$$
$$x_{2} = \sqrt{-1 + e}$$
$$x_{3} = - \sqrt{-1 + e^{1 + \pi}}$$
$$x_{4} = \sqrt{-1 + e^{1 + \pi}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.31083249443$$
$$x_{2} = 4247.05723271$$
$$x_{3} = -4247.05723271$$
$$x_{4} = 1.31083249443$$
$$x_{5} = 882.875916415$$
$$x_{6} = -472772.989369$$
$$x_{7} = 20430.3732955$$
$$x_{8} = 38.1394446276$$
$$x_{9} = 2274263.77169$$
$$x_{10} = 7.86784114492$$
$$x_{11} = 183.529264862$$
$$x_{12} = -183.529264862$$
$$x_{13} = -38.1394446276$$
$$x_{14} = -882.875916415$$
$$x_{15} = -7.86784114492$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(log(x^2 + 1) - 1)/pi.
$$\frac{1}{\pi} \sin{\left (-1 + \log{\left (0^{2} + 1 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{1}{\pi} \sin{\left (1 \right )}$$
Точка:

(0, -sin(1)/pi)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{2 x}{\pi \left(x^{2} + 1\right)} \cos{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{-1 + e^{1 + \frac{\pi}{2}}}$$
$$x_{3} = \sqrt{-1 + e^{1 + \frac{\pi}{2}}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{-1 + e^{1 + \frac{3 \pi}{2}}}$$
$$x_{5} = \sqrt{-1 + e^{1 + \frac{3 \pi}{2}}}$$
Зн. экстремумы в точках:

    -sin(1)  
(0, --------)
       pi    

       ______________     
      /           pi      
     /        1 + --      
    /             2    1  
(-\/    -1 + e      , --)
                       pi 

      ______________     
     /           pi      
    /        1 + --      
   /             2    1  
(\/    -1 + e      , --)
                      pi 

       ________________      
      /           3*pi       
     /        1 + ----       
    /              2     -1  
(-\/    -1 + e        , ---)
                          pi 

      ________________      
     /           3*pi       
    /        1 + ----       
   /              2     -1  
(\/    -1 + e        , ---)
                         pi 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{5} = 0$$
$$x_{5} = - \sqrt{-1 + e^{1 + \frac{3 \pi}{2}}}$$
$$x_{5} = \sqrt{-1 + e^{1 + \frac{3 \pi}{2}}}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{5} = - \sqrt{-1 + e^{1 + \frac{\pi}{2}}}$$
$$x_{5} = \sqrt{-1 + e^{1 + \frac{\pi}{2}}}$$
Убывает на промежутках

[sqrt(-1 + exp(1 + 3*pi/2)), oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -sqrt(-1 + exp(1 + 3*pi/2))]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{1}{\pi \left(x^{2} + 1\right)} \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )} - \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} \cos{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )} + 2 \cos{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1.17227503133$$
$$x_{2} = -1.17227503133$$
$$x_{3} = 145.554562501$$
$$x_{4} = -30.2483401785$$
$$x_{5} = 6.24301617649$$
$$x_{6} = 30.2483401785$$
$$x_{7} = -145.554562501$$
$$x_{8} = -6.24301617649$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[6.24301617649, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -30.2483401785]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\pi} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )}\right) = \frac{1}{\pi} \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \frac{1}{\pi} \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\pi} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )}\right) = \frac{1}{\pi} \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \frac{1}{\pi} \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(log(x^2 + 1) - 1)/pi, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\pi x} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\pi x} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{\pi} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )} = \frac{1}{\pi} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )}$$
- Да
$$\frac{1}{\pi} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )} = - \frac{1}{\pi} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной