График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в sin(log(x^2 + 1) - 1)/pi. π1sin(−1+log(02+1)) Результат: f(0)=−π1sin(1) Точка:
(0, -sin(1)/pi)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная π(x2+1)2xcos(log(x2+1)−1)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=−−1+e1+2π x3=−1+e1+2π x4=−−1+e1+23π x5=−1+e1+23π Зн. экстремумы в точках:
-sin(1)
(0, --------)
pi
______________
/ pi
/ 1 + --
/ 2 1
(-\/ -1 + e , --)
pi
______________
/ pi
/ 1 + --
/ 2 1
(\/ -1 + e , --)
pi
________________
/ 3*pi
/ 1 + ----
/ 2 -1
(-\/ -1 + e , ---)
pi
________________
/ 3*pi
/ 1 + ----
/ 2 -1
(\/ -1 + e , ---)
pi
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x5=0 x5=−−1+e1+23π x5=−1+e1+23π Максимумы функции в точках: x5=−−1+e1+2π x5=−1+e1+2π Убывает на промежутках
[sqrt(-1 + exp(1 + 3*pi/2)), oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, -sqrt(-1 + exp(1 + 3*pi/2))]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная π(x2+1)1(−x2+14x2sin(log(x2+1)−1)−x2+14x2cos(log(x2+1)−1)+2cos(log(x2+1)−1))=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=1.17227503133 x2=−1.17227503133 x3=145.554562501 x4=−30.2483401785 x5=6.24301617649 x6=30.2483401785 x7=−145.554562501 x8=−6.24301617649
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
[6.24301617649, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, -30.2483401785]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(π1sin(log(x2+1)−1))=π1⟨−1,1⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=π1⟨−1,1⟩ x→∞lim(π1sin(log(x2+1)−1))=π1⟨−1,1⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=π1⟨−1,1⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(log(x^2 + 1) - 1)/pi, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(πx1sin(log(x2+1)−1))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(πx1sin(log(x2+1)−1))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: π1sin(log(x2+1)−1)=π1sin(log(x2+1)−1) - Да π1sin(log(x2+1)−1)=−π1sin(log(x2+1)−1) - Нет значит, функция является чётной