График функции y = (sin(log(x^2+1)-1))/pi

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          /   / 2    \    \
       sin\log\x  + 1/ - 1/
f(x) = --------------------
                pi         
f(x)=1πsin(log(x2+1)1)f{\left (x \right )} = \frac{1}{\pi} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )}
График функции
0-80000-60000-40000-20000200004000060000800001000000.5-0.5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
1πsin(log(x2+1)1)=0\frac{1}{\pi} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1+ex_{1} = - \sqrt{-1 + e}
x2=1+ex_{2} = \sqrt{-1 + e}
x3=1+e1+πx_{3} = - \sqrt{-1 + e^{1 + \pi}}
x4=1+e1+πx_{4} = \sqrt{-1 + e^{1 + \pi}}
Численное решение
x1=1.31083249443x_{1} = -1.31083249443
x2=4247.05723271x_{2} = 4247.05723271
x3=4247.05723271x_{3} = -4247.05723271
x4=1.31083249443x_{4} = 1.31083249443
x5=882.875916415x_{5} = 882.875916415
x6=472772.989369x_{6} = -472772.989369
x7=20430.3732955x_{7} = 20430.3732955
x8=38.1394446276x_{8} = 38.1394446276
x9=2274263.77169x_{9} = 2274263.77169
x10=7.86784114492x_{10} = 7.86784114492
x11=183.529264862x_{11} = 183.529264862
x12=183.529264862x_{12} = -183.529264862
x13=38.1394446276x_{13} = -38.1394446276
x14=882.875916415x_{14} = -882.875916415
x15=7.86784114492x_{15} = -7.86784114492
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(log(x^2 + 1) - 1)/pi.
1πsin(1+log(02+1))\frac{1}{\pi} \sin{\left (-1 + \log{\left (0^{2} + 1 \right )} \right )}
Результат:
f(0)=1πsin(1)f{\left (0 \right )} = - \frac{1}{\pi} \sin{\left (1 \right )}
Точка:
(0, -sin(1)/pi)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2xπ(x2+1)cos(log(x2+1)1)=0\frac{2 x}{\pi \left(x^{2} + 1\right)} \cos{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=1+e1+π2x_{2} = - \sqrt{-1 + e^{1 + \frac{\pi}{2}}}
x3=1+e1+π2x_{3} = \sqrt{-1 + e^{1 + \frac{\pi}{2}}}
x4=1+e1+3π2x_{4} = - \sqrt{-1 + e^{1 + \frac{3 \pi}{2}}}
x5=1+e1+3π2x_{5} = \sqrt{-1 + e^{1 + \frac{3 \pi}{2}}}
Зн. экстремумы в точках:
    -sin(1)  
(0, --------)
       pi    

       ______________     
      /           pi      
     /        1 + --      
    /             2    1  
(-\/    -1 + e      , --)
                       pi 

      ______________     
     /           pi      
    /        1 + --      
   /             2    1  
(\/    -1 + e      , --)
                      pi 

       ________________      
      /           3*pi       
     /        1 + ----       
    /              2     -1  
(-\/    -1 + e        , ---)
                          pi 

      ________________      
     /           3*pi       
    /        1 + ----       
   /              2     -1  
(\/    -1 + e        , ---)
                         pi 


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x5=0x_{5} = 0
x5=1+e1+3π2x_{5} = - \sqrt{-1 + e^{1 + \frac{3 \pi}{2}}}
x5=1+e1+3π2x_{5} = \sqrt{-1 + e^{1 + \frac{3 \pi}{2}}}
Максимумы функции в точках:
x5=1+e1+π2x_{5} = - \sqrt{-1 + e^{1 + \frac{\pi}{2}}}
x5=1+e1+π2x_{5} = \sqrt{-1 + e^{1 + \frac{\pi}{2}}}
Убывает на промежутках
[sqrt(-1 + exp(1 + 3*pi/2)), oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -sqrt(-1 + exp(1 + 3*pi/2))]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1π(x2+1)(4x2x2+1sin(log(x2+1)1)4x2x2+1cos(log(x2+1)1)+2cos(log(x2+1)1))=0\frac{1}{\pi \left(x^{2} + 1\right)} \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )} - \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} \cos{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )} + 2 \cos{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1.17227503133x_{1} = 1.17227503133
x2=1.17227503133x_{2} = -1.17227503133
x3=145.554562501x_{3} = 145.554562501
x4=30.2483401785x_{4} = -30.2483401785
x5=6.24301617649x_{5} = 6.24301617649
x6=30.2483401785x_{6} = 30.2483401785
x7=145.554562501x_{7} = -145.554562501
x8=6.24301617649x_{8} = -6.24301617649

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[6.24301617649, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -30.2483401785]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(1πsin(log(x2+1)1))=1π1,1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\pi} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )}\right) = \frac{1}{\pi} \langle -1, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1π1,1y = \frac{1}{\pi} \langle -1, 1\rangle
limx(1πsin(log(x2+1)1))=1π1,1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\pi} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )}\right) = \frac{1}{\pi} \langle -1, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1π1,1y = \frac{1}{\pi} \langle -1, 1\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(log(x^2 + 1) - 1)/pi, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1πxsin(log(x2+1)1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\pi x} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1πxsin(log(x2+1)1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\pi x} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
1πsin(log(x2+1)1)=1πsin(log(x2+1)1)\frac{1}{\pi} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )} = \frac{1}{\pi} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )}
- Да
1πsin(log(x2+1)1)=1πsin(log(x2+1)1)\frac{1}{\pi} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )} = - \frac{1}{\pi} \sin{\left (\log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 1 \right )}
- Нет
значит, функция
является
чётной