График функции y = sqrt(1-x)+2*x

Вы ввели

         _______      
f(x) = \/ 1 - x  + 2*x

$$f{\left(x \right)} = 2 x + \sqrt{1 - x}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 x + \sqrt{1 - x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{17}}{8} - \frac{1}{8}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.640388203202208$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(1 - x) + 2*x.
$$2 \cdot 0 + \sqrt{1 - 0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$2 - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{15}{16}$$
Зн. экстремумы в точках:

 15       
(--, 17/8)
 16       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{15}{16}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{15}{16}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{15}{16}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- \frac{1}{4 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x + \sqrt{1 - x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + \sqrt{1 - x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(1 - x) + 2*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + \sqrt{1 - x}}{x}\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \sqrt{1 - x}}{x}\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 2 x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 x + \sqrt{1 - x} = - 2 x + \sqrt{x + 1}$$
- Нет
$$2 x + \sqrt{1 - x} = 2 x - \sqrt{x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График