График функции y = (x^2-1)/sin(x)

Вы ввели

        2    
       x  - 1
f(x) = ------
       sin(x)

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} - 1}{\sin{\left (x \right )}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 1}{\sin{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 1)/sin(x).
$$\frac{-1 + 0^{2}}{\sin{\left (0 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{2 x}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{\left(x^{2} - 1\right) \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 67.5146210052$$
$$x_{2} = 23.4768059033$$
$$x_{3} = -12.5663706144$$
$$x_{4} = 78.5398163397$$
$$x_{5} = 48.6535849776$$
$$x_{6} = 45.5091533452$$
$$x_{7} = 9.42477796077$$
$$x_{8} = 56.5486677646$$
$$x_{9} = 12.5663706144$$
$$x_{10} = -51.7976718062$$
$$x_{11} = 58.085035216$$
$$x_{12} = -97.3893722613$$
$$x_{13} = 43.9822971503$$
$$x_{14} = 13.9944961127$$
$$x_{15} = 89.5130484455$$
$$x_{16} = -39.2189234266$$
$$x_{17} = 7.59205618191$$
$$x_{18} = 42.3643000278$$
$$x_{19} = -7.59205618191$$
$$x_{20} = -83.2281761529$$
$$x_{21} = 86.3706429922$$
$$x_{22} = -45.5091533452$$
$$x_{23} = -3.14159265359$$
$$x_{24} = -58.085035216$$
$$x_{25} = -95.7976993647$$
$$x_{26} = 87.9645943005$$
$$x_{27} = -64.3715822869$$
$$x_{28} = -43.9822971503$$
$$x_{29} = -4.25023198404$$
$$x_{30} = -36.0728864085$$
$$x_{31} = -89.5130484455$$
$$x_{32} = -73.8003288675$$
$$x_{33} = 29.7779917433$$
$$x_{34} = 59.6902604182$$
$$x_{35} = -21.9911485751$$
$$x_{36} = -37.6991118431$$
$$x_{37} = 21.9911485751$$
$$x_{38} = 51.7976718062$$
$$x_{39} = 0$$
$$x_{40} = -94.2477796077$$
$$x_{41} = 64.3715822869$$
$$x_{42} = 20.3220161353$$
$$x_{43} = 80.0856406984$$
$$x_{44} = -26.6284652378$$
$$x_{45} = 15.7079632679$$
$$x_{46} = 50.2654824574$$
$$x_{47} = -53.407075111$$
$$x_{48} = -59.6902604182$$
$$x_{49} = 28.2743338823$$
$$x_{50} = 73.8003288675$$
$$x_{51} = -86.3706429922$$
$$x_{52} = -81.6814089933$$
$$x_{53} = 72.2566310326$$
$$x_{54} = -6.28318530718$$
$$x_{55} = -65.9734457254$$
$$x_{56} = -72.2566310326$$
$$x_{57} = 95.7976993647$$
$$x_{58} = 70.6575310494$$
$$x_{59} = -29.7779917433$$
$$x_{60} = -18.8495559215$$
$$x_{61} = 94.2477796077$$
$$x_{62} = -20.3220161353$$
$$x_{63} = -15.7079632679$$
$$x_{64} = 81.6814089933$$
$$x_{65} = 65.9734457254$$
$$x_{66} = 3.14159265359$$
$$x_{67} = 100.530964915$$
$$x_{68} = 26.6284652378$$
$$x_{69} = 36.0728864085$$
$$x_{70} = 92.6553987604$$
$$x_{71} = -31.4159265359$$
$$x_{72} = -75.3982236862$$
$$x_{73} = -9.42477796077$$
$$x_{74} = 6.28318530718$$
$$x_{75} = -87.9645943005$$
$$x_{76} = 4.25023198404$$
$$x_{77} = -23.4768059033$$
$$x_{78} = -13.9944961127$$
$$x_{79} = -50.2654824574$$
$$x_{80} = -61.2283950658$$
$$x_{81} = 34.5575191895$$
$$x_{82} = -42.3643000278$$
$$x_{83} = 37.6991118431$$
$$x_{84} = -67.5146210052$$
$$x_{85} = -80.0856406984$$
$$x_{86} = -28.2743338823$$
Зн. экстремумы в точках:

(67.5146210052, -4559.22404947021)

(23.4768059033, -552.160415420506)

(-12.5663706144, -3843352041369.58)

(78.5398163397, 137560753433284)

(48.6535849776, -2368.17133117439)

(45.5091533452, 2072.08303819295)

(9.42477796077, -141751311534734)

(56.5486677646, -196351770998200)

(12.5663706144, 3843352041369.58)

(-51.7976718062, -2683.99880454309)

(58.085035216, 3374.871316049)

(-97.3893722613, 578055657095062)

(43.9822971503, 45075155290198.8)

(13.9944961127, 196.845921448116)

(89.5130484455, 8013.58584200416)

(-39.2189234266, -1539.12395474506)

(7.59205618191, 58.6393170692904)

(42.3643000278, -1795.73391684937)

(-7.59205618191, -58.6393170692904)

(-83.2281761529, -6927.92930573293)

(86.3706429922, -7460.88797088998)

(-45.5091533452, -2072.08303819295)

(-3.14159265359, 42884978013429.2)

(-58.085035216, -3374.871316049)

(-95.7976993647, -9178.19920356032)

(87.9645943005, -544295442489969)

(-64.3715822869, -4144.70060611936)

(-43.9822971503, -45075155290198.8)

(-4.25023198404, 19.0644719181872)

(-36.0728864085, 1302.25313383919)

(-89.5130484455, -8013.58584200416)

(-73.8003288675, 5447.48854095242)

(29.7779917433, -887.728792262143)

(59.6902604182, 586430247788429)

(-21.9911485751, -16901671458105.5)

(-37.6991118431, -63176892921040.8)

(21.9911485751, 16901671458105.5)

(51.7976718062, 2683.99880454309)

(0, zoo)

(-94.2477796077, -1.43267015074662e+15)

(64.3715822869, 4144.70060611936)

(20.3220161353, 413.984339804892)

(80.0856406984, -6414.70984607772)

(-26.6284652378, -710.075160919931)

(15.7079632679, 5018597988198.89)

(50.2654824574, -68828477069236)

(-53.407075111, -107647341478332)

(-59.6902604182, -586430247788429)

(28.2743338823, 98083752086019.1)

(73.8003288675, -5447.48854095242)

(-86.3706429922, 7460.88797088998)

(-81.6814089933, 192643691604221)

(72.2566310326, -150201808949879)

(-6.28318530718, -93022530562452.5)

(-65.9734457254, 303457214350879)

(-72.2566310326, 150201808949879)

(95.7976993647, 9178.19920356032)

(70.6575310494, 4993.48669399041)

(-29.7779917433, 887.728792262143)

(-18.8495559215, 9140817099924.86)

(94.2477796077, 1.43267015074662e+15)

(-20.3220161353, -413.984339804892)

(-15.7079632679, -5018597988198.89)

(81.6814089933, -192643691604221)

(65.9734457254, -303457214350879)

(3.14159265359, -42884978013429.2)

(100.530964915, 79812748388789.4)

(26.6284652378, 710.075160919931)

(36.0728864085, -1302.25313383919)

(92.6553987604, -8586.02291945487)

(-31.4159265359, -477126565273331)

(-75.3982236862, -126420511516239)

(-9.42477796077, 141751311534734)

(6.28318530718, 93022530562452.5)

(-87.9645943005, 544295442489969)

(4.25023198404, -19.0644719181872)

(-23.4768059033, 552.160415420506)

(-13.9944961127, -196.845921448116)

(-50.2654824574, 68828477069236)

(-61.2283950658, 3749.91636233036)

(34.5575191895, -97221139247221)

(-42.3643000278, 1795.73391684937)

(37.6991118431, 63176892921040.8)

(-67.5146210052, 4559.22404947021)

(-80.0856406984, 6414.70984607772)

(-28.2743338823, -98083752086019.1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{86} = -12.5663706144$$
$$x_{86} = 45.5091533452$$
$$x_{86} = 9.42477796077$$
$$x_{86} = 56.5486677646$$
$$x_{86} = 58.085035216$$
$$x_{86} = 13.9944961127$$
$$x_{86} = 89.5130484455$$
$$x_{86} = 7.59205618191$$
$$x_{86} = 87.9645943005$$
$$x_{86} = -43.9822971503$$
$$x_{86} = -4.25023198404$$
$$x_{86} = -36.0728864085$$
$$x_{86} = -73.8003288675$$
$$x_{86} = -21.9911485751$$
$$x_{86} = -37.6991118431$$
$$x_{86} = 51.7976718062$$
$$x_{86} = -94.2477796077$$
$$x_{86} = 64.3715822869$$
$$x_{86} = 20.3220161353$$
$$x_{86} = 50.2654824574$$
$$x_{86} = -53.407075111$$
$$x_{86} = -59.6902604182$$
$$x_{86} = -86.3706429922$$
$$x_{86} = 72.2566310326$$
$$x_{86} = -6.28318530718$$
$$x_{86} = 95.7976993647$$
$$x_{86} = 70.6575310494$$
$$x_{86} = -29.7779917433$$
$$x_{86} = -15.7079632679$$
$$x_{86} = 81.6814089933$$
$$x_{86} = 65.9734457254$$
$$x_{86} = 3.14159265359$$
$$x_{86} = 26.6284652378$$
$$x_{86} = -31.4159265359$$
$$x_{86} = -75.3982236862$$
$$x_{86} = -23.4768059033$$
$$x_{86} = -61.2283950658$$
$$x_{86} = 34.5575191895$$
$$x_{86} = -42.3643000278$$
$$x_{86} = -67.5146210052$$
$$x_{86} = -80.0856406984$$
$$x_{86} = -28.2743338823$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{86} = 67.5146210052$$
$$x_{86} = 23.4768059033$$
$$x_{86} = 78.5398163397$$
$$x_{86} = 48.6535849776$$
$$x_{86} = 12.5663706144$$
$$x_{86} = -51.7976718062$$
$$x_{86} = -97.3893722613$$
$$x_{86} = 43.9822971503$$
$$x_{86} = -39.2189234266$$
$$x_{86} = 42.3643000278$$
$$x_{86} = -7.59205618191$$
$$x_{86} = -83.2281761529$$
$$x_{86} = 86.3706429922$$
$$x_{86} = -45.5091533452$$
$$x_{86} = -3.14159265359$$
$$x_{86} = -58.085035216$$
$$x_{86} = -95.7976993647$$
$$x_{86} = -64.3715822869$$
$$x_{86} = -89.5130484455$$
$$x_{86} = 29.7779917433$$
$$x_{86} = 59.6902604182$$
$$x_{86} = 21.9911485751$$
$$x_{86} = 80.0856406984$$
$$x_{86} = -26.6284652378$$
$$x_{86} = 15.7079632679$$
$$x_{86} = 28.2743338823$$
$$x_{86} = 73.8003288675$$
$$x_{86} = -81.6814089933$$
$$x_{86} = -65.9734457254$$
$$x_{86} = -72.2566310326$$
$$x_{86} = -18.8495559215$$
$$x_{86} = 94.2477796077$$
$$x_{86} = -20.3220161353$$
$$x_{86} = 100.530964915$$
$$x_{86} = 36.0728864085$$
$$x_{86} = 92.6553987604$$
$$x_{86} = -9.42477796077$$
$$x_{86} = 6.28318530718$$
$$x_{86} = -87.9645943005$$
$$x_{86} = 4.25023198404$$
$$x_{86} = -13.9944961127$$
$$x_{86} = -50.2654824574$$
$$x_{86} = 37.6991118431$$
Убывает на промежутках

[95.7976993647, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -94.2477796077]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sin{\left (x \right )}}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sin{\left (x \right )}}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 1)/sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \sin{\left (x \right )}}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \sin{\left (x \right )}}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 1}{\sin{\left (x \right )}} = - \frac{x^{2} - 1}{\sin{\left (x \right )}}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 1}{\sin{\left (x \right )}} = - \frac{- x^{2} + 1}{\sin{\left (x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной