График функции y = (x^2-1)/sin(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        2    
       x  - 1
f(x) = ------
       sin(x)
f(x)=x21sin(x)f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} - 1}{\sin{\left (x \right )}}
График функции
1750.01752.51755.01757.51760.01762.51765.01767.51770.01772.51775.0-500000000500000000
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x21sin(x)=0\frac{x^{2} - 1}{\sin{\left (x \right )}} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Численное решение
x1=1x_{1} = 1
x2=1x_{2} = -1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 1)/sin(x).
1+02sin(0)\frac{-1 + 0^{2}}{\sin{\left (0 \right )}}
Результат:
f(0)=~f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2xsin(x)(x21)cos(x)sin2(x)=0\frac{2 x}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{\left(x^{2} - 1\right) \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=67.5146210052x_{1} = 67.5146210052
x2=23.4768059033x_{2} = 23.4768059033
x3=12.5663706144x_{3} = -12.5663706144
x4=78.5398163397x_{4} = 78.5398163397
x5=48.6535849776x_{5} = 48.6535849776
x6=45.5091533452x_{6} = 45.5091533452
x7=9.42477796077x_{7} = 9.42477796077
x8=56.5486677646x_{8} = 56.5486677646
x9=12.5663706144x_{9} = 12.5663706144
x10=51.7976718062x_{10} = -51.7976718062
x11=58.085035216x_{11} = 58.085035216
x12=97.3893722613x_{12} = -97.3893722613
x13=43.9822971503x_{13} = 43.9822971503
x14=13.9944961127x_{14} = 13.9944961127
x15=89.5130484455x_{15} = 89.5130484455
x16=39.2189234266x_{16} = -39.2189234266
x17=7.59205618191x_{17} = 7.59205618191
x18=42.3643000278x_{18} = 42.3643000278
x19=7.59205618191x_{19} = -7.59205618191
x20=83.2281761529x_{20} = -83.2281761529
x21=86.3706429922x_{21} = 86.3706429922
x22=45.5091533452x_{22} = -45.5091533452
x23=3.14159265359x_{23} = -3.14159265359
x24=58.085035216x_{24} = -58.085035216
x25=95.7976993647x_{25} = -95.7976993647
x26=87.9645943005x_{26} = 87.9645943005
x27=64.3715822869x_{27} = -64.3715822869
x28=43.9822971503x_{28} = -43.9822971503
x29=4.25023198404x_{29} = -4.25023198404
x30=36.0728864085x_{30} = -36.0728864085
x31=89.5130484455x_{31} = -89.5130484455
x32=73.8003288675x_{32} = -73.8003288675
x33=29.7779917433x_{33} = 29.7779917433
x34=59.6902604182x_{34} = 59.6902604182
x35=21.9911485751x_{35} = -21.9911485751
x36=37.6991118431x_{36} = -37.6991118431
x37=21.9911485751x_{37} = 21.9911485751
x38=51.7976718062x_{38} = 51.7976718062
x39=0x_{39} = 0
x40=94.2477796077x_{40} = -94.2477796077
x41=64.3715822869x_{41} = 64.3715822869
x42=20.3220161353x_{42} = 20.3220161353
x43=80.0856406984x_{43} = 80.0856406984
x44=26.6284652378x_{44} = -26.6284652378
x45=15.7079632679x_{45} = 15.7079632679
x46=50.2654824574x_{46} = 50.2654824574
x47=53.407075111x_{47} = -53.407075111
x48=59.6902604182x_{48} = -59.6902604182
x49=28.2743338823x_{49} = 28.2743338823
x50=73.8003288675x_{50} = 73.8003288675
x51=86.3706429922x_{51} = -86.3706429922
x52=81.6814089933x_{52} = -81.6814089933
x53=72.2566310326x_{53} = 72.2566310326
x54=6.28318530718x_{54} = -6.28318530718
x55=65.9734457254x_{55} = -65.9734457254
x56=72.2566310326x_{56} = -72.2566310326
x57=95.7976993647x_{57} = 95.7976993647
x58=70.6575310494x_{58} = 70.6575310494
x59=29.7779917433x_{59} = -29.7779917433
x60=18.8495559215x_{60} = -18.8495559215
x61=94.2477796077x_{61} = 94.2477796077
x62=20.3220161353x_{62} = -20.3220161353
x63=15.7079632679x_{63} = -15.7079632679
x64=81.6814089933x_{64} = 81.6814089933
x65=65.9734457254x_{65} = 65.9734457254
x66=3.14159265359x_{66} = 3.14159265359
x67=100.530964915x_{67} = 100.530964915
x68=26.6284652378x_{68} = 26.6284652378
x69=36.0728864085x_{69} = 36.0728864085
x70=92.6553987604x_{70} = 92.6553987604
x71=31.4159265359x_{71} = -31.4159265359
x72=75.3982236862x_{72} = -75.3982236862
x73=9.42477796077x_{73} = -9.42477796077
x74=6.28318530718x_{74} = 6.28318530718
x75=87.9645943005x_{75} = -87.9645943005
x76=4.25023198404x_{76} = 4.25023198404
x77=23.4768059033x_{77} = -23.4768059033
x78=13.9944961127x_{78} = -13.9944961127
x79=50.2654824574x_{79} = -50.2654824574
x80=61.2283950658x_{80} = -61.2283950658
x81=34.5575191895x_{81} = 34.5575191895
x82=42.3643000278x_{82} = -42.3643000278
x83=37.6991118431x_{83} = 37.6991118431
x84=67.5146210052x_{84} = -67.5146210052
x85=80.0856406984x_{85} = -80.0856406984
x86=28.2743338823x_{86} = -28.2743338823
Зн. экстремумы в точках:
(67.5146210052, -4559.22404947021)

(23.4768059033, -552.160415420506)

(-12.5663706144, -3843352041369.58)

(78.5398163397, 137560753433284)

(48.6535849776, -2368.17133117439)

(45.5091533452, 2072.08303819295)

(9.42477796077, -141751311534734)

(56.5486677646, -196351770998200)

(12.5663706144, 3843352041369.58)

(-51.7976718062, -2683.99880454309)

(58.085035216, 3374.871316049)

(-97.3893722613, 578055657095062)

(43.9822971503, 45075155290198.8)

(13.9944961127, 196.845921448116)

(89.5130484455, 8013.58584200416)

(-39.2189234266, -1539.12395474506)

(7.59205618191, 58.6393170692904)

(42.3643000278, -1795.73391684937)

(-7.59205618191, -58.6393170692904)

(-83.2281761529, -6927.92930573293)

(86.3706429922, -7460.88797088998)

(-45.5091533452, -2072.08303819295)

(-3.14159265359, 42884978013429.2)

(-58.085035216, -3374.871316049)

(-95.7976993647, -9178.19920356032)

(87.9645943005, -544295442489969)

(-64.3715822869, -4144.70060611936)

(-43.9822971503, -45075155290198.8)

(-4.25023198404, 19.0644719181872)

(-36.0728864085, 1302.25313383919)

(-89.5130484455, -8013.58584200416)

(-73.8003288675, 5447.48854095242)

(29.7779917433, -887.728792262143)

(59.6902604182, 586430247788429)

(-21.9911485751, -16901671458105.5)

(-37.6991118431, -63176892921040.8)

(21.9911485751, 16901671458105.5)

(51.7976718062, 2683.99880454309)

(0, zoo)

(-94.2477796077, -1.43267015074662e+15)

(64.3715822869, 4144.70060611936)

(20.3220161353, 413.984339804892)

(80.0856406984, -6414.70984607772)

(-26.6284652378, -710.075160919931)

(15.7079632679, 5018597988198.89)

(50.2654824574, -68828477069236)

(-53.407075111, -107647341478332)

(-59.6902604182, -586430247788429)

(28.2743338823, 98083752086019.1)

(73.8003288675, -5447.48854095242)

(-86.3706429922, 7460.88797088998)

(-81.6814089933, 192643691604221)

(72.2566310326, -150201808949879)

(-6.28318530718, -93022530562452.5)

(-65.9734457254, 303457214350879)

(-72.2566310326, 150201808949879)

(95.7976993647, 9178.19920356032)

(70.6575310494, 4993.48669399041)

(-29.7779917433, 887.728792262143)

(-18.8495559215, 9140817099924.86)

(94.2477796077, 1.43267015074662e+15)

(-20.3220161353, -413.984339804892)

(-15.7079632679, -5018597988198.89)

(81.6814089933, -192643691604221)

(65.9734457254, -303457214350879)

(3.14159265359, -42884978013429.2)

(100.530964915, 79812748388789.4)

(26.6284652378, 710.075160919931)

(36.0728864085, -1302.25313383919)

(92.6553987604, -8586.02291945487)

(-31.4159265359, -477126565273331)

(-75.3982236862, -126420511516239)

(-9.42477796077, 141751311534734)

(6.28318530718, 93022530562452.5)

(-87.9645943005, 544295442489969)

(4.25023198404, -19.0644719181872)

(-23.4768059033, 552.160415420506)

(-13.9944961127, -196.845921448116)

(-50.2654824574, 68828477069236)

(-61.2283950658, 3749.91636233036)

(34.5575191895, -97221139247221)

(-42.3643000278, 1795.73391684937)

(37.6991118431, 63176892921040.8)

(-67.5146210052, 4559.22404947021)

(-80.0856406984, 6414.70984607772)

(-28.2743338823, -98083752086019.1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x86=12.5663706144x_{86} = -12.5663706144
x86=45.5091533452x_{86} = 45.5091533452
x86=9.42477796077x_{86} = 9.42477796077
x86=56.5486677646x_{86} = 56.5486677646
x86=58.085035216x_{86} = 58.085035216
x86=13.9944961127x_{86} = 13.9944961127
x86=89.5130484455x_{86} = 89.5130484455
x86=7.59205618191x_{86} = 7.59205618191
x86=87.9645943005x_{86} = 87.9645943005
x86=43.9822971503x_{86} = -43.9822971503
x86=4.25023198404x_{86} = -4.25023198404
x86=36.0728864085x_{86} = -36.0728864085
x86=73.8003288675x_{86} = -73.8003288675
x86=21.9911485751x_{86} = -21.9911485751
x86=37.6991118431x_{86} = -37.6991118431
x86=51.7976718062x_{86} = 51.7976718062
x86=94.2477796077x_{86} = -94.2477796077
x86=64.3715822869x_{86} = 64.3715822869
x86=20.3220161353x_{86} = 20.3220161353
x86=50.2654824574x_{86} = 50.2654824574
x86=53.407075111x_{86} = -53.407075111
x86=59.6902604182x_{86} = -59.6902604182
x86=86.3706429922x_{86} = -86.3706429922
x86=72.2566310326x_{86} = 72.2566310326
x86=6.28318530718x_{86} = -6.28318530718
x86=95.7976993647x_{86} = 95.7976993647
x86=70.6575310494x_{86} = 70.6575310494
x86=29.7779917433x_{86} = -29.7779917433
x86=15.7079632679x_{86} = -15.7079632679
x86=81.6814089933x_{86} = 81.6814089933
x86=65.9734457254x_{86} = 65.9734457254
x86=3.14159265359x_{86} = 3.14159265359
x86=26.6284652378x_{86} = 26.6284652378
x86=31.4159265359x_{86} = -31.4159265359
x86=75.3982236862x_{86} = -75.3982236862
x86=23.4768059033x_{86} = -23.4768059033
x86=61.2283950658x_{86} = -61.2283950658
x86=34.5575191895x_{86} = 34.5575191895
x86=42.3643000278x_{86} = -42.3643000278
x86=67.5146210052x_{86} = -67.5146210052
x86=80.0856406984x_{86} = -80.0856406984
x86=28.2743338823x_{86} = -28.2743338823
Максимумы функции в точках:
x86=67.5146210052x_{86} = 67.5146210052
x86=23.4768059033x_{86} = 23.4768059033
x86=78.5398163397x_{86} = 78.5398163397
x86=48.6535849776x_{86} = 48.6535849776
x86=12.5663706144x_{86} = 12.5663706144
x86=51.7976718062x_{86} = -51.7976718062
x86=97.3893722613x_{86} = -97.3893722613
x86=43.9822971503x_{86} = 43.9822971503
x86=39.2189234266x_{86} = -39.2189234266
x86=42.3643000278x_{86} = 42.3643000278
x86=7.59205618191x_{86} = -7.59205618191
x86=83.2281761529x_{86} = -83.2281761529
x86=86.3706429922x_{86} = 86.3706429922
x86=45.5091533452x_{86} = -45.5091533452
x86=3.14159265359x_{86} = -3.14159265359
x86=58.085035216x_{86} = -58.085035216
x86=95.7976993647x_{86} = -95.7976993647
x86=64.3715822869x_{86} = -64.3715822869
x86=89.5130484455x_{86} = -89.5130484455
x86=29.7779917433x_{86} = 29.7779917433
x86=59.6902604182x_{86} = 59.6902604182
x86=21.9911485751x_{86} = 21.9911485751
x86=80.0856406984x_{86} = 80.0856406984
x86=26.6284652378x_{86} = -26.6284652378
x86=15.7079632679x_{86} = 15.7079632679
x86=28.2743338823x_{86} = 28.2743338823
x86=73.8003288675x_{86} = 73.8003288675
x86=81.6814089933x_{86} = -81.6814089933
x86=65.9734457254x_{86} = -65.9734457254
x86=72.2566310326x_{86} = -72.2566310326
x86=18.8495559215x_{86} = -18.8495559215
x86=94.2477796077x_{86} = 94.2477796077
x86=20.3220161353x_{86} = -20.3220161353
x86=100.530964915x_{86} = 100.530964915
x86=36.0728864085x_{86} = 36.0728864085
x86=92.6553987604x_{86} = 92.6553987604
x86=9.42477796077x_{86} = -9.42477796077
x86=6.28318530718x_{86} = 6.28318530718
x86=87.9645943005x_{86} = -87.9645943005
x86=4.25023198404x_{86} = 4.25023198404
x86=13.9944961127x_{86} = -13.9944961127
x86=50.2654824574x_{86} = -50.2654824574
x86=37.6991118431x_{86} = 37.6991118431
Убывает на промежутках
[95.7976993647, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -94.2477796077]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=limx(x21sin(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sin{\left (x \right )}}\right)
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=limx(x21sin(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{\sin{\left (x \right )}}\right)
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 1)/sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlimx(x21xsin(x))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \sin{\left (x \right )}}\right)
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlimx(x21xsin(x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \sin{\left (x \right )}}\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x21sin(x)=x21sin(x)\frac{x^{2} - 1}{\sin{\left (x \right )}} = - \frac{x^{2} - 1}{\sin{\left (x \right )}}
- Нет
x21sin(x)=x2+1sin(x)\frac{x^{2} - 1}{\sin{\left (x \right )}} = - \frac{- x^{2} + 1}{\sin{\left (x \right )}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной