График функции y = sqrt(x^2+6*x-7)

Вы ввели

          ______________
         /  2           
f(x) = \/  x  + 6*x - 7 

$$f{\left (x \right )} = \sqrt{x^{2} + 6 x - 7}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{x^{2} + 6 x - 7} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(x^2 + 6*x - 7).
$$\sqrt{-7 + 0^{2} + 0 \cdot 6}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \sqrt{7} i$$
Точка:

(0, i*sqrt(7))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 6 x - 7}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
Зн. экстремумы в точках:

(-3, 4*I)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{- \frac{\left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} + 6 x - 7} + 1}{\sqrt{x^{2} + 6 x - 7}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^{2} + 6 x - 7} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 6 x - 7} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(x^2 + 6*x - 7), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{x^{2} + 6 x - 7}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{x^{2} + 6 x - 7}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{x^{2} + 6 x - 7} = \sqrt{x^{2} - 6 x - 7}$$
- Нет
$$\sqrt{x^{2} + 6 x - 7} = - \sqrt{x^{2} - 6 x - 7}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной