График y = f(x) = -1/2*sin(2*x)-1 (минус 1 делить на 2 умножить на синус от (2 умножить на х) минус 1) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = -1/2*sin(2*x)-1

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
         sin(2*x)    
f(x) = - -------- - 1
            2        
$$f{\left (x \right )} = - \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} - 1$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -sin(2*x)/2 - 1.
$$-1 - \frac{1}{2} \sin{\left (0 \cdot 2 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
 pi       
(--, -3/2)
 4        

 3*pi       
(----, -1/2)
  4         


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Убывает на промежутках
[pi/4, 3*pi/4]

Возрастает на промежутках
(-oo, pi/4] U [3*pi/4, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \sin{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0, pi/2]

Выпуклая на промежутках
(-oo, 0] U [pi/2, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} - 1\right) = \langle - \frac{3}{2}, - \frac{1}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle - \frac{3}{2}, - \frac{1}{2}\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} - 1\right) = \langle - \frac{3}{2}, - \frac{1}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle - \frac{3}{2}, - \frac{1}{2}\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -sin(2*x)/2 - 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} - 1 = \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} - 1$$
- Нет
$$- \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} - 1 = - \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} + 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: