График функции y = 3-3*log(x)/(x+4)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

           3*log(x)
f(x) = 3 - --------
            x + 4  

$$f{\left (x \right )} = 3 - \frac{3 \log{\left (x \right )}}{x + 4}$$

Область определения функции

[TeX]

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -4$$

Точки пересечения с осью координат X

[TeX]

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3 - \frac{3 \log{\left (x \right )}}{x + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

[TeX]

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3 - 3*log(x)/(x + 4).
$$- \frac{3}{4} \log{\left (0 \right )} + 3$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

[TeX]

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{3 \log{\left (x \right )}}{\left(x + 4\right)^{2}} - \frac{3}{x \left(x + 4\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{\operatorname{LambertW}{\left (\frac{4}{e} \right )} + 1}$$
Зн. экстремумы в точках:

              /   -1\                     /   -1\   
  1 + LambertW\4*e  /       3 + 3*LambertW\4*e  /   
(e                  , 3 - ------------------------)
                                            /   -1\ 
                                1 + LambertW\4*e  / 
                           4 + e                    

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{\operatorname{LambertW}{\left (\frac{4}{e} \right )} + 1}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[exp(LambertW(4*exp(-1)) + 1), oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, exp(LambertW(4*exp(-1)) + 1)]

Вертикальные асимптоты

[TeX]

Есть:
$$x_{1} = -4$$

Горизонтальные асимптоты

[TeX]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 - \frac{3 \log{\left (x \right )}}{x + 4}\right) = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 - \frac{3 \log{\left (x \right )}}{x + 4}\right) = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 3$$

Наклонные асимптоты

[TeX]

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3 - 3*log(x)/(x + 4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 - \frac{3 \log{\left (x \right )}}{x + 4}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 - \frac{3 \log{\left (x \right )}}{x + 4}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

[TeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3 - \frac{3 \log{\left (x \right )}}{x + 4} = 3 - \frac{3 \log{\left (- x \right )}}{- x + 4}$$
- Нет
$$3 - \frac{3 \log{\left (x \right )}}{x + 4} = -3 - - \frac{3 \log{\left (- x \right )}}{- x + 4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной