График функции y = x^3-9*x^2+15*x+3

Вы ввели

        3      2           
f(x) = x  - 9*x  + 15*x + 3

$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 3 + \frac{4}{\sqrt[3]{3 + \sqrt{55} i}} + \sqrt[3]{3 + \sqrt{55} i}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.180140032988958$$
$$x_{2} = 6.69126777680543$$
$$x_{3} = 2.48887225618353$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 9*x^2 + 15*x + 3.
$$0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 15 \cdot 0 + 3$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 3$$
Точка:

(0, 3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$3 x^{2} - 18 x + 15 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:

(1, 10)

(5, -22)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1, 5\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$6 \left(x - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[3, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 3\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 3\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 3\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 9*x^2 + 15*x + 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 3}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 3}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 3 = - x^{3} - 9 x^{2} - 15 x + 3$$
- Нет
$$x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 3 = x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 3$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График