График функции y = exp(8*x-x^2-14)
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2
8*x - x - 14
f(x) = e
$$f{\left (x \right )} = e^{- x^{2} + 8 x - 14}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{- x^{2} + 8 x - 14} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$e^{- x^{2} + 8 x - 14} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в exp(8*x - x^2 - 14).
$$e^{-14 + 0 \cdot 8 - 0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = e^{-14}$$
Точка:
подставляем x = 0 в exp(8*x - x^2 - 14).
$$e^{-14 + 0 \cdot 8 - 0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = e^{-14}$$
Точка:
(0, exp(-14))
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(- 2 x + 8\right) e^{- x^{2} + 8 x - 14} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(- 2 x + 8\right) e^{- x^{2} + 8 x - 14} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
2 (4, e )
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4$$
Убывает на промежутках
(-oo, 4]
Возрастает на промежутках
[4, oo)
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(2 \left(x - 4\right)^{2} - 1\right) e^{- x^{2} + 8 x - 14} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + 4$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 4$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(2 \left(x - 4\right)^{2} - 1\right) e^{- x^{2} + 8 x - 14} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + 4$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 4$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -sqrt(2)/2 + 4] U [sqrt(2)/2 + 4, oo)
Выпуклая на промежутках
[-sqrt(2)/2 + 4, sqrt(2)/2 + 4]
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{- x^{2} + 8 x - 14} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{- x^{2} + 8 x - 14} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty} e^{- x^{2} + 8 x - 14} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{- x^{2} + 8 x - 14} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции exp(8*x - x^2 - 14), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} e^{- x^{2} + 8 x - 14}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} e^{- x^{2} + 8 x - 14}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} e^{- x^{2} + 8 x - 14}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} e^{- x^{2} + 8 x - 14}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{- x^{2} + 8 x - 14} = e^{- x^{2} - 8 x - 14}$$
- Нет
$$e^{- x^{2} + 8 x - 14} = - e^{- x^{2} - 8 x - 14}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$e^{- x^{2} + 8 x - 14} = e^{- x^{2} - 8 x - 14}$$
- Нет
$$e^{- x^{2} + 8 x - 14} = - e^{- x^{2} - 8 x - 14}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной