График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: e−x2+8x−14=0 Решаем это уравнение Решения не найдено, может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в exp(8*x - x^2 - 14). e−14+0⋅8−0 Результат: f(0)=e−14 Точка:
(0, exp(-14))
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная (−2x+8)e−x2+8x−14=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=4 Зн. экстремумы в точках:
2
(4, e )
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нет Максимумы функции в точках: x1=4 Убывает на промежутках
(-oo, 4]
Возрастает на промежутках
[4, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная 2(2(x−4)2−1)e−x2+8x−14=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−22+4 x2=22+4
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
(-oo, -sqrt(2)/2 + 4] U [sqrt(2)/2 + 4, oo)
Выпуклая на промежутках
[-sqrt(2)/2 + 4, sqrt(2)/2 + 4]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lime−x2+8x−14=0 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0 x→∞lime−x2+8x−14=0 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции exp(8*x - x^2 - 14), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1e−x2+8x−14)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(x1e−x2+8x−14)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: e−x2+8x−14=e−x2−8x−14 - Нет e−x2+8x−14=−e−x2−8x−14 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной