График y = f(x) = 1/(e^x-1) (1 делить на (e в степени х минус 1)) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = 1/(e^x-1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
         1   
f(x) = ------
        x    
       E  - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{e^{x} - 1}$$
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{e^{x} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/(E^x - 1).
$$\frac{1}{-1 + e^{0}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(-1 + \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{e^{x} - 1} = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x} - 1} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/(E^x - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(e^{x} - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(e^{x} - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{e^{x} - 1} = \frac{1}{-1 + e^{- x}}$$
- Нет
$$\frac{1}{e^{x} - 1} = - \frac{1}{-1 + e^{- x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = 1/(e^x-1) /media/krcore-image-pods/e/50/f17de65c5abb197ff84fa4d075bbc.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: