График функции y = x^3+3*x^2-12*x+8/3*x^2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
                             2
        3      2          8*x 
f(x) = x  + 3*x  - 12*x + ----
                           3  
f(x)=8x23+12x+x3+3x2f{\left (x \right )} = \frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}
График функции
-7.0-6.0-5.0-4.0-3.0-2.0-1.00.01.02.0-100100
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
8x23+12x+x3+3x2=0\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=176+7216x_{2} = - \frac{17}{6} + \frac{\sqrt{721}}{6}
x3=7216176x_{3} = - \frac{\sqrt{721}}{6} - \frac{17}{6}
Численное решение
x1=0x_{1} = 0
x2=7.3085738607x_{2} = -7.3085738607
x3=1.64190719403x_{3} = 1.64190719403
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 + 3*x^2 - 12*x + 8*x^2/3.
03+3020+030^{3} + 3 \cdot 0^{2} - 0 + \frac{0}{3}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
3x2+34x312=03 x^{2} + \frac{34 x}{3} - 12 = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=179+6139x_{1} = - \frac{17}{9} + \frac{\sqrt{613}}{9}
x2=6139179x_{2} = - \frac{\sqrt{613}}{9} - \frac{17}{9}
Зн. экстремумы в точках:
                                                                         2 
                                                         /         _____\  
                                      3                  |  17   \/ 613 |  
          _____       /         _____\        _____   17*|- -- + -------|  
   17   \/ 613   68   |  17   \/ 613 |    4*\/ 613       \  9       9   /  
(- -- + -------, -- + |- -- + -------|  - --------- + --------------------)
   9       9     3    \  9       9   /        3                3           

                                                                         2 
                                                         /         _____\  
                                      3                  |  17   \/ 613 |  
          _____       /         _____\        _____   17*|- -- - -------|  
   17   \/ 613   68   |  17   \/ 613 |    4*\/ 613       \  9       9   /  
(- -- - -------, -- + |- -- - -------|  + --------- + --------------------)
   9       9     3    \  9       9   /        3                3           


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=179+6139x_{2} = - \frac{17}{9} + \frac{\sqrt{613}}{9}
Максимумы функции в точках:
x2=6139179x_{2} = - \frac{\sqrt{613}}{9} - \frac{17}{9}
Убывает на промежутках
(-oo, -sqrt(613)/9 - 17/9] U [-17/9 + sqrt(613)/9, oo)

Возрастает на промежутках
[-sqrt(613)/9 - 17/9, -17/9 + sqrt(613)/9]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2(3x+173)=02 \left(3 x + \frac{17}{3}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=179x_{1} = - \frac{17}{9}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-17/9, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -17/9]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(8x23+12x+x3+3x2)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(8x23+12x+x3+3x2)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 3*x^2 - 12*x + 8*x^2/3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(8x23+12x+x3+3x2))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(1x(8x23+12x+x3+3x2))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
8x23+12x+x3+3x2=x3+17x23+12x\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2} = - x^{3} + \frac{17 x^{2}}{3} + 12 x
- Нет
8x23+12x+x3+3x2=1x317x2312x\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2} = - -1 x^{3} - \frac{17 x^{2}}{3} - 12 x
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной