График функции y = x^3+3*x^2-12*x+8/3*x^2
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
2
3 2 8*x
f(x) = x + 3*x - 12*x + ----
3
$$f{\left (x \right )} = \frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{17}{6} + \frac{\sqrt{721}}{6}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{721}}{6} - \frac{17}{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -7.3085738607$$
$$x_{3} = 1.64190719403$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{17}{6} + \frac{\sqrt{721}}{6}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{721}}{6} - \frac{17}{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -7.3085738607$$
$$x_{3} = 1.64190719403$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 + 3*x^2 - 12*x + 8*x^2/3.
$$0^{3} + 3 \cdot 0^{2} - 0 + \frac{0}{3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
подставляем x = 0 в x^3 + 3*x^2 - 12*x + 8*x^2/3.
$$0^{3} + 3 \cdot 0^{2} - 0 + \frac{0}{3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} + \frac{34 x}{3} - 12 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{17}{9} + \frac{\sqrt{613}}{9}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{613}}{9} - \frac{17}{9}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{17}{9} + \frac{\sqrt{613}}{9}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{613}}{9} - \frac{17}{9}$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} + \frac{34 x}{3} - 12 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{17}{9} + \frac{\sqrt{613}}{9}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{613}}{9} - \frac{17}{9}$$
Зн. экстремумы в точках:
2
/ _____\
3 | 17 \/ 613 |
_____ / _____\ _____ 17*|- -- + -------|
17 \/ 613 68 | 17 \/ 613 | 4*\/ 613 \ 9 9 /
(- -- + -------, -- + |- -- + -------| - --------- + --------------------)
9 9 3 \ 9 9 / 3 3 2
/ _____\
3 | 17 \/ 613 |
_____ / _____\ _____ 17*|- -- - -------|
17 \/ 613 68 | 17 \/ 613 | 4*\/ 613 \ 9 9 /
(- -- - -------, -- + |- -- - -------| + --------- + --------------------)
9 9 3 \ 9 9 / 3 3 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{17}{9} + \frac{\sqrt{613}}{9}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{613}}{9} - \frac{17}{9}$$
Убывает на промежутках
(-oo, -sqrt(613)/9 - 17/9] U [-17/9 + sqrt(613)/9, oo)
Возрастает на промежутках
[-sqrt(613)/9 - 17/9, -17/9 + sqrt(613)/9]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(3 x + \frac{17}{3}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{17}{9}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(3 x + \frac{17}{3}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{17}{9}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-17/9, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, -17/9]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 3*x^2 - 12*x + 8*x^2/3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2} = - x^{3} + \frac{17 x^{2}}{3} + 12 x$$
- Нет
$$\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2} = - -1 x^{3} - \frac{17 x^{2}}{3} - 12 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2} = - x^{3} + \frac{17 x^{2}}{3} + 12 x$$
- Нет
$$\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2} = - -1 x^{3} - \frac{17 x^{2}}{3} - 12 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной