График функции y = x^3+3*x^2-12*x+8/3*x^2

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

                             2
        3      2          8*x 
f(x) = x  + 3*x  - 12*x + ----
                           3  

$$f{\left (x \right )} = \frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}$$

Точки пересечения с осью координат X

[TeX]

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{17}{6} + \frac{\sqrt{721}}{6}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{721}}{6} - \frac{17}{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -7.3085738607$$
$$x_{3} = 1.64190719403$$

Точки пересечения с осью координат Y

[TeX]

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 + 3*x^2 - 12*x + 8*x^2/3.
$$0^{3} + 3 \cdot 0^{2} - 0 + \frac{0}{3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

[TeX]

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} + \frac{34 x}{3} - 12 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{17}{9} + \frac{\sqrt{613}}{9}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{613}}{9} - \frac{17}{9}$$
Зн. экстремумы в точках:

                                                                         2 
                                                         /         _____\  
                                      3                  |  17   \/ 613 |  
          _____       /         _____\        _____   17*|- -- + -------|  
   17   \/ 613   68   |  17   \/ 613 |    4*\/ 613       \  9       9   /  
(- -- + -------, -- + |- -- + -------|  - --------- + --------------------)
   9       9     3    \  9       9   /        3                3           

                                                                         2 
                                                         /         _____\  
                                      3                  |  17   \/ 613 |  
          _____       /         _____\        _____   17*|- -- - -------|  
   17   \/ 613   68   |  17   \/ 613 |    4*\/ 613       \  9       9   /  
(- -- - -------, -- + |- -- - -------|  + --------- + --------------------)
   9       9     3    \  9       9   /        3                3           

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{17}{9} + \frac{\sqrt{613}}{9}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{613}}{9} - \frac{17}{9}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -sqrt(613)/9 - 17/9] U [-17/9 + sqrt(613)/9, oo)

Возрастает на промежутках

[-sqrt(613)/9 - 17/9, -17/9 + sqrt(613)/9]

Точки перегибов

[TeX]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(3 x + \frac{17}{3}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{17}{9}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-17/9, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -17/9]

Горизонтальные асимптоты

[TeX]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

[TeX]

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 3*x^2 - 12*x + 8*x^2/3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

[TeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2} = - x^{3} + \frac{17 x^{2}}{3} + 12 x$$
- Нет
$$\frac{8 x^{2}}{3} + - 12 x + x^{3} + 3 x^{2} = - -1 x^{3} - \frac{17 x^{2}}{3} - 12 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной