График функции y = x^3+2/x^2

        3   2 
f(x) = x  + --
             2
            x 

$$f{\left (x \right )} = x^{3} + \frac{2}{x^{2}}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} + \frac{2}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt[5]{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.14869835499704$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 + 2/x^2.
$$0^{3} + \frac{2}{0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} - \frac{4}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{5}}}{3} 3^{\frac{4}{5}}$$
Зн. экстремумы в точках:

  2/5  4/5    5 ___  2/5 
 2   *3     5*\/ 2 *3    
(---------, ------------)
     3           3       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{5}}}{3} 3^{\frac{4}{5}}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[2**(2/5)*3**(4/5)/3, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 2**(2/5)*3**(4/5)/3]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \left(x + \frac{2}{x^{4}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt[5]{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(6 \left(x + \frac{2}{x^{4}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 \left(x + \frac{2}{x^{4}}\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-2**(1/5), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2**(1/5)]

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + \frac{2}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + \frac{2}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 2/x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} + \frac{2}{x^{2}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} + \frac{2}{x^{2}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} + \frac{2}{x^{2}} = - x^{3} + \frac{2}{x^{2}}$$
- Нет
$$x^{3} + \frac{2}{x^{2}} = - -1 x^{3} - \frac{2}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной