График функции y = x^3+2/x^2
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
3 2
f(x) = x + --
2
x
$$f{\left (x \right )} = x^{3} + \frac{2}{x^{2}}$$
График функции
Область определения функции
[TeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} + \frac{2}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt[5]{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.14869835499704$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} + \frac{2}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt[5]{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.14869835499704$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 + 2/x^2.
$$0^{3} + \frac{2}{0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
подставляем x = 0 в x^3 + 2/x^2.
$$0^{3} + \frac{2}{0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} - \frac{4}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{5}}}{3} 3^{\frac{4}{5}}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{5}}}{3} 3^{\frac{4}{5}}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} - \frac{4}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{5}}}{3} 3^{\frac{4}{5}}$$
Зн. экстремумы в точках:
2/5 4/5 5 ___ 2/5
2 *3 5*\/ 2 *3
(---------, ------------)
3 3 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{5}}}{3} 3^{\frac{4}{5}}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[2**(2/5)*3**(4/5)/3, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 2**(2/5)*3**(4/5)/3]
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \left(x + \frac{2}{x^{4}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt[5]{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(6 \left(x + \frac{2}{x^{4}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 \left(x + \frac{2}{x^{4}}\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \left(x + \frac{2}{x^{4}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt[5]{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(6 \left(x + \frac{2}{x^{4}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 \left(x + \frac{2}{x^{4}}\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-2**(1/5), oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, -2**(1/5)]
Вертикальные асимптоты
[TeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + \frac{2}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + \frac{2}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + \frac{2}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + \frac{2}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 2/x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} + \frac{2}{x^{2}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} + \frac{2}{x^{2}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} + \frac{2}{x^{2}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} + \frac{2}{x^{2}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} + \frac{2}{x^{2}} = - x^{3} + \frac{2}{x^{2}}$$
- Нет
$$x^{3} + \frac{2}{x^{2}} = - -1 x^{3} - \frac{2}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{3} + \frac{2}{x^{2}} = - x^{3} + \frac{2}{x^{2}}$$
- Нет
$$x^{3} + \frac{2}{x^{2}} = - -1 x^{3} - \frac{2}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной