График функции y = x^3+2/x^2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        3   2 
f(x) = x  + --
             2
            x 
f(x)=x3+2x2f{\left (x \right )} = x^{3} + \frac{2}{x^{2}}
График функции
-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.54000-2000
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x3+2x2=0x^{3} + \frac{2}{x^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=25x_{1} = - \sqrt[5]{2}
Численное решение
x1=1.14869835499704x_{1} = -1.14869835499704
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 + 2/x^2.
03+2020^{3} + \frac{2}{0^{2}}
Результат:
f(0)=~f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
3x24x3=03 x^{2} - \frac{4}{x^{3}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2253345x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{5}}}{3} 3^{\frac{4}{5}}
Зн. экстремумы в точках:
  2/5  4/5    5 ___  2/5 
 2   *3     5*\/ 2 *3    
(---------, ------------)
     3           3       


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=2253345x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{5}}}{3} 3^{\frac{4}{5}}
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[2**(2/5)*3**(4/5)/3, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 2**(2/5)*3**(4/5)/3]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
6(x+2x4)=06 \left(x + \frac{2}{x^{4}}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=25x_{1} = - \sqrt[5]{2}
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=0x_{1} = 0

limx0(6(x+2x4))=\lim_{x \to 0^-}\left(6 \left(x + \frac{2}{x^{4}}\right)\right) = \infty
limx0+(6(x+2x4))=\lim_{x \to 0^+}\left(6 \left(x + \frac{2}{x^{4}}\right)\right) = \infty
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-2**(1/5), oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -2**(1/5)]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x3+2x2)=\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + \frac{2}{x^{2}}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x3+2x2)=\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + \frac{2}{x^{2}}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 2/x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(x3+2x2))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} + \frac{2}{x^{2}}\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(1x(x3+2x2))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} + \frac{2}{x^{2}}\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x3+2x2=x3+2x2x^{3} + \frac{2}{x^{2}} = - x^{3} + \frac{2}{x^{2}}
- Нет
x3+2x2=1x32x2x^{3} + \frac{2}{x^{2}} = - -1 x^{3} - \frac{2}{x^{2}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной