График функции y = atan(x)-x^(1/x)

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x^{\frac{1}{x}} + \operatorname{atan}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 5.08876032378$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в atan(x) - x^(1/x).
$$- \tilde{\infty} + \operatorname{atan}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - 0^{\tilde{\infty}}$$
Точка:

(0, -0^±oo)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- x^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )} + \frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{1}{x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0.356704649327$$
$$x_{2} = 1.59138359979$$
Зн. экстремумы в точках:

(0.356704649327, 0.287054474294442)

(1.59138359979, -0.329268276394368)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1.59138359979$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0.356704649327$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0.356704649327] U [1.59138359979, oo)

Возрастает на промежутках

[0.356704649327, 1.59138359979]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{x^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \left(2 \log{\left (x \right )} - 3\right) + \frac{x^{\frac{1}{x}}}{x^{4}} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2.63912458829$$
$$x_{2} = 0.610255551858$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{x^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \left(2 \log{\left (x \right )} - 3\right) + \frac{x^{\frac{1}{x}}}{x^{4}} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{x^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \left(2 \log{\left (x \right )} - 3\right) + \frac{x^{\frac{1}{x}}}{x^{4}} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}\right) = 0$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0.610255551858, 2.63912458829]

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0.610255551858] U [2.63912458829, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{\frac{1}{x}} + \operatorname{atan}{\left (x \right )}\right) = - \frac{\pi}{2} - 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \frac{\pi}{2} - 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{\frac{1}{x}} + \operatorname{atan}{\left (x \right )}\right) = -1 + \frac{\pi}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -1 + \frac{\pi}{2}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan(x) - x^(1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{\frac{1}{x}} + \operatorname{atan}{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{\frac{1}{x}} + \operatorname{atan}{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x^{\frac{1}{x}} + \operatorname{atan}{\left (x \right )} = - \operatorname{atan}{\left (x \right )} - \left(- x\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
$$- x^{\frac{1}{x}} + \operatorname{atan}{\left (x \right )} = - -1 \operatorname{atan}{\left (x \right )} - - \left(- x\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной