График функции y = 3+9*x^2-x^3

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
              2    3
f(x) = 3 + 9*x  - x 
f(x)=x3+9x2+3f{\left (x \right )} = - x^{3} + 9 x^{2} + 3
График функции
0.01.02.03.04.05.06.07.08.09.0200-100
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x3+9x2+3=0- x^{3} + 9 x^{2} + 3 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=93372+5723+3+3372+5723x_{1} = \frac{9}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{37}}{2} + \frac{57}{2}}} + 3 + \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{37}}{2} + \frac{57}{2}}
Численное решение
x1=9.03673652009x_{1} = 9.03673652009
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3 + 9*x^2 - x^3.
0+902+3- 0 + 9 \cdot 0^{2} + 3
Результат:
f(0)=3f{\left (0 \right )} = 3
Точка:
(0, 3)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
3x2+18x=0- 3 x^{2} + 18 x = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=6x_{2} = 6
Зн. экстремумы в точках:
(0, 3)

(6, 111)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=0x_{2} = 0
Максимумы функции в точках:
x2=6x_{2} = 6
Убывает на промежутках
[0, 6]

Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [6, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
6(x+3)=06 \left(- x + 3\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=3x_{1} = 3

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 3]

Выпуклая на промежутках
[3, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x3+9x2+3)=\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{3} + 9 x^{2} + 3\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x3+9x2+3)=\lim_{x \to \infty}\left(- x^{3} + 9 x^{2} + 3\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3 + 9*x^2 - x^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(x3+9x2+3))=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{3} + 9 x^{2} + 3\right)\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(1x(x3+9x2+3))=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{3} + 9 x^{2} + 3\right)\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x3+9x2+3=x3+9x2+3- x^{3} + 9 x^{2} + 3 = x^{3} + 9 x^{2} + 3
- Нет
x3+9x2+3=x39x23- x^{3} + 9 x^{2} + 3 = - x^{3} - 9 x^{2} - 3
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной