График функции y = sqrt(8+x)-sqrt(8-x)

Вы ввели

         _______     _______
f(x) = \/ 8 + x  - \/ 8 - x 

$$f{\left(x \right)} = - \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 8}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 8} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(8 + x) - sqrt(8 - x).
$$- \sqrt{8 - 0} + \sqrt{8}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{1}{2 \sqrt{x + 8}} + \frac{1}{2 \sqrt{8 - x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{- \frac{1}{\left(x + 8\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\left(8 - x\right)^{\frac{3}{2}}}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 8}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 8}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(8 + x) - sqrt(8 - x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 8}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 8}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 8} = \sqrt{8 - x} - \sqrt{x + 8}$$
- Нет
$$- \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 8} = - \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 8}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График