График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: $$- \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 8} = 0$$ Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение $$x_{1} = 0$$ Численное решение $$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в sqrt(8 + x) - sqrt(8 - x). $$- \sqrt{8 - 0} + \sqrt{8}$$ Результат: $$f{\left(0 \right)} = 0$$ Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$ первая производная $$\frac{1}{2 \sqrt{x + 8}} + \frac{1}{2 \sqrt{8 - x}} = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$ вторая производная $$\frac{- \frac{1}{\left(x + 8\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\left(8 - x\right)^{\frac{3}{2}}}}{4} = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = 0$$
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках $$\left[0, \infty\right)$$ Выпуклая на промежутках $$\left(-\infty, 0\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 8}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: $$y = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$ $$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 8}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: $$y = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(8 + x) - sqrt(8 - x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 8}}{x}\right) = 0$$ Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 8}}{x}\right) = 0$$ Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: $$- \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 8} = \sqrt{8 - x} - \sqrt{x + 8}$$ - Нет $$- \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 8} = - \sqrt{8 - x} + \sqrt{x + 8}$$ - Да значит, функция является нечётной