График функции y = sqrt(5-4*x-x^2)/(2*x^2-5*x)
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
______________
/ 2
\/ 5 - 4*x - x
f(x) = -----------------
2
2*x - 5*x
$$f{\left (x \right )} = \frac{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5}}{2 x^{2} - 5 x}$$
График функции
Область определения функции
[TeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2.5$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2.5$$
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5}}{2 x^{2} - 5 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 1$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5}}{2 x^{2} - 5 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(5 - 4*x - x^2)/(2*x^2 - 5*x).
$$\frac{\sqrt{- 0 + - 0 + 5}}{2 \cdot 0^{2} - 0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
подставляем x = 0 в sqrt(5 - 4*x - x^2)/(2*x^2 - 5*x).
$$\frac{\sqrt{- 0 + - 0 + 5}}{2 \cdot 0^{2} - 0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5}}{\left(2 x^{2} - 5 x\right)^{2}} \left(- 4 x + 5\right) + \frac{- x - 2}{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5} \left(2 x^{2} - 5 x\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3 \sqrt[3]{3}}{2} 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} - 2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5}}{\left(2 x^{2} - 5 x\right)^{2}} \left(- 4 x + 5\right) + \frac{- x - 2}{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5} \left(2 x^{2} - 5 x\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3 \sqrt[3]{3}}{2} 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} - 2$$
Зн. экстремумы в точках:
______________________________________________________________________
/ 2
/ / 2/3 3 ___\
/ | 3 ___ 2/3 3*2 *\/ 3 | 3 ___ 2/3 2/3 3 ___
2/3 3 ___ / 13 - |-2 - \/ 2 *3 - ------------| + 4*\/ 2 *3 + 6*2 *\/ 3
3 ___ 2/3 3*2 *\/ 3 \/ \ 2 /
(-2 - \/ 2 *3 - ------------, ----------------------------------------------------------------------------)
2 2
/ 2/3 3 ___\ 2/3 3 ___
| 3 ___ 2/3 3*2 *\/ 3 | 3 ___ 2/3 15*2 *\/ 3
10 + 2*|-2 - \/ 2 *3 - ------------| + 5*\/ 2 *3 + -------------
\ 2 / 2 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x \left(2 x - 5\right)} \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} + \frac{2 \left(x + 2\right) \left(4 x - 5\right)}{x \left(2 x - 5\right) \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} - \frac{4 \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{x \left(2 x - 5\right)} + \frac{2 \left(4 x - 5\right)^{2}}{x^{2} \left(2 x - 5\right)^{2}} \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -11.81146916156$$
$$x_{2} = -4.33327163992469$$
$$x_{3} = 0.779395100250641$$
$$x_{4} = 1.35783944713454$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2.5$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x \left(2 x - 5\right)} \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} + \frac{2 \left(x + 2\right) \left(4 x - 5\right)}{x \left(2 x - 5\right) \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} - \frac{4 \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{x \left(2 x - 5\right)} + \frac{2 \left(4 x - 5\right)^{2}}{x^{2} \left(2 x - 5\right)^{2}} \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x \left(2 x - 5\right)} \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} + \frac{2 \left(x + 2\right) \left(4 x - 5\right)}{x \left(2 x - 5\right) \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} - \frac{4 \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{x \left(2 x - 5\right)} + \frac{2 \left(4 x - 5\right)^{2}}{x^{2} \left(2 x - 5\right)^{2}} \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 2.5^-}\left(\frac{1}{x \left(2 x - 5\right)} \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} + \frac{2 \left(x + 2\right) \left(4 x - 5\right)}{x \left(2 x - 5\right) \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} - \frac{4 \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{x \left(2 x - 5\right)} + \frac{2 \left(4 x - 5\right)^{2}}{x^{2} \left(2 x - 5\right)^{2}} \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}\right)\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 2.5^+}\left(\frac{1}{x \left(2 x - 5\right)} \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} + \frac{2 \left(x + 2\right) \left(4 x - 5\right)}{x \left(2 x - 5\right) \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} - \frac{4 \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{x \left(2 x - 5\right)} + \frac{2 \left(4 x - 5\right)^{2}}{x^{2} \left(2 x - 5\right)^{2}} \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}\right)\right) = \infty i$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 2.5$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x \left(2 x - 5\right)} \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} + \frac{2 \left(x + 2\right) \left(4 x - 5\right)}{x \left(2 x - 5\right) \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} - \frac{4 \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{x \left(2 x - 5\right)} + \frac{2 \left(4 x - 5\right)^{2}}{x^{2} \left(2 x - 5\right)^{2}} \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -11.81146916156$$
$$x_{2} = -4.33327163992469$$
$$x_{3} = 0.779395100250641$$
$$x_{4} = 1.35783944713454$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2.5$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x \left(2 x - 5\right)} \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} + \frac{2 \left(x + 2\right) \left(4 x - 5\right)}{x \left(2 x - 5\right) \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} - \frac{4 \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{x \left(2 x - 5\right)} + \frac{2 \left(4 x - 5\right)^{2}}{x^{2} \left(2 x - 5\right)^{2}} \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x \left(2 x - 5\right)} \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} + \frac{2 \left(x + 2\right) \left(4 x - 5\right)}{x \left(2 x - 5\right) \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} - \frac{4 \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{x \left(2 x - 5\right)} + \frac{2 \left(4 x - 5\right)^{2}}{x^{2} \left(2 x - 5\right)^{2}} \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 2.5^-}\left(\frac{1}{x \left(2 x - 5\right)} \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} + \frac{2 \left(x + 2\right) \left(4 x - 5\right)}{x \left(2 x - 5\right) \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} - \frac{4 \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{x \left(2 x - 5\right)} + \frac{2 \left(4 x - 5\right)^{2}}{x^{2} \left(2 x - 5\right)^{2}} \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}\right)\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 2.5^+}\left(\frac{1}{x \left(2 x - 5\right)} \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} + \frac{2 \left(x + 2\right) \left(4 x - 5\right)}{x \left(2 x - 5\right) \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} - \frac{4 \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{x \left(2 x - 5\right)} + \frac{2 \left(4 x - 5\right)^{2}}{x^{2} \left(2 x - 5\right)^{2}} \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}\right)\right) = \infty i$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 2.5$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0.779395100250641, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, -4.33327163992469]
Вертикальные асимптоты
[TeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2.5$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2.5$$
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5}}{2 x^{2} - 5 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5}}{2 x^{2} - 5 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5}}{2 x^{2} - 5 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5}}{2 x^{2} - 5 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(5 - 4*x - x^2)/(2*x^2 - 5*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5}}{x \left(2 x^{2} - 5 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5}}{x \left(2 x^{2} - 5 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5}}{x \left(2 x^{2} - 5 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5}}{x \left(2 x^{2} - 5 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5}}{2 x^{2} - 5 x} = \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{2 x^{2} + 5 x}$$
- Нет
$$\frac{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5}}{2 x^{2} - 5 x} = - \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{2 x^{2} + 5 x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5}}{2 x^{2} - 5 x} = \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{2 x^{2} + 5 x}$$
- Нет
$$\frac{\sqrt{- x^{2} + - 4 x + 5}}{2 x^{2} - 5 x} = - \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{2 x^{2} + 5 x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной