График функции y = sqrt(5-4*x-x^2)/(2*x^2-5*x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          ______________
         /            2 
       \/  5 - 4*x - x  
f(x) = -----------------
              2         
           2*x  - 5*x   
f(x)=x24x+52x25xf{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{2 x^{2} - 5 x}
График функции
02468-8-6-4-2-1010-2020
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
x2=2.5x_{2} = 2.5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x24x+52x25x=0\frac{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{2 x^{2} - 5 x} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=5x_{1} = -5
x2=1x_{2} = 1
Численное решение
x1=5x_{1} = -5
x2=1x_{2} = 1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(5 - 4*x - x^2)/(2*x^2 - 5*x).
0402+520250\frac{\sqrt{- 0 \cdot 4 - 0^{2} + 5}}{2 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0}
Результат:
f(0)=~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
(54x)x24x+5(2x25x)2+x2(2x25x)x24x+5=0\frac{\left(5 - 4 x\right) \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{\left(2 x^{2} - 5 x\right)^{2}} + \frac{- x - 2}{\left(2 x^{2} - 5 x\right) \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=3223332233232x_{1} = - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} - 2
Зн. экстремумы в точках:
                                       ______________________________________________________________________ 
                                      /                                      2                                
                                     /       /                     2/3 3 ___\                                 
                                    /        |     3 ___  2/3   3*2   *\/ 3 |      3 ___  2/3      2/3 3 ___  
                      2/3 3 ___    /    13 - |-2 - \/ 2 *3    - ------------|  + 4*\/ 2 *3    + 6*2   *\/ 3   
      3 ___  2/3   3*2   *\/ 3   \/          \                       2      /                                 
(-2 - \/ 2 *3    - ------------, ----------------------------------------------------------------------------)
                        2                                                 2                                   
                                          /                     2/3 3 ___\                       2/3 3 ___    
                                          |     3 ___  2/3   3*2   *\/ 3 |      3 ___  2/3   15*2   *\/ 3     
                                   10 + 2*|-2 - \/ 2 *3    - ------------|  + 5*\/ 2 *3    + -------------    
                                          \                       2      /                         2          


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1x(2x5)((x+2)2(x24x+5)321x24x+5+2(x+2)(4x5)x(2x5)x24x+54x24x+5x(2x5)+2(4x5)2x2(2x5)2x24x+5)=0\frac{1}{x \left(2 x - 5\right)} \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} + \frac{2 \left(x + 2\right) \left(4 x - 5\right)}{x \left(2 x - 5\right) \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} - \frac{4 \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{x \left(2 x - 5\right)} + \frac{2 \left(4 x - 5\right)^{2}}{x^{2} \left(2 x - 5\right)^{2}} \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=11.81146916156x_{1} = -11.81146916156
x2=4.33327163992469x_{2} = -4.33327163992469
x3=0.779395100250641x_{3} = 0.779395100250641
x4=1.35783944713454x_{4} = 1.35783944713454
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=0x_{1} = 0
x2=2.5x_{2} = 2.5

limx0(1x(2x5)((x+2)2(x24x+5)321x24x+5+2(x+2)(4x5)x(2x5)x24x+54x24x+5x(2x5)+2(4x5)2x2(2x5)2x24x+5))=\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x \left(2 x - 5\right)} \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} + \frac{2 \left(x + 2\right) \left(4 x - 5\right)}{x \left(2 x - 5\right) \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} - \frac{4 \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{x \left(2 x - 5\right)} + \frac{2 \left(4 x - 5\right)^{2}}{x^{2} \left(2 x - 5\right)^{2}} \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}\right)\right) = \infty
limx0+(1x(2x5)((x+2)2(x24x+5)321x24x+5+2(x+2)(4x5)x(2x5)x24x+54x24x+5x(2x5)+2(4x5)2x2(2x5)2x24x+5))=\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x \left(2 x - 5\right)} \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} + \frac{2 \left(x + 2\right) \left(4 x - 5\right)}{x \left(2 x - 5\right) \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} - \frac{4 \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{x \left(2 x - 5\right)} + \frac{2 \left(4 x - 5\right)^{2}}{x^{2} \left(2 x - 5\right)^{2}} \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}\right)\right) = -\infty
- пределы не равны, зн.
x1=0x_{1} = 0
- является точкой перегиба
limx2.5(1x(2x5)((x+2)2(x24x+5)321x24x+5+2(x+2)(4x5)x(2x5)x24x+54x24x+5x(2x5)+2(4x5)2x2(2x5)2x24x+5))=i\lim_{x \to 2.5^-}\left(\frac{1}{x \left(2 x - 5\right)} \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} + \frac{2 \left(x + 2\right) \left(4 x - 5\right)}{x \left(2 x - 5\right) \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} - \frac{4 \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{x \left(2 x - 5\right)} + \frac{2 \left(4 x - 5\right)^{2}}{x^{2} \left(2 x - 5\right)^{2}} \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}\right)\right) = - \infty i
limx2.5+(1x(2x5)((x+2)2(x24x+5)321x24x+5+2(x+2)(4x5)x(2x5)x24x+54x24x+5x(2x5)+2(4x5)2x2(2x5)2x24x+5))=i\lim_{x \to 2.5^+}\left(\frac{1}{x \left(2 x - 5\right)} \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{\left(- x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} + \frac{2 \left(x + 2\right) \left(4 x - 5\right)}{x \left(2 x - 5\right) \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} - \frac{4 \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{x \left(2 x - 5\right)} + \frac{2 \left(4 x - 5\right)^{2}}{x^{2} \left(2 x - 5\right)^{2}} \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}\right)\right) = \infty i
- пределы не равны, зн.
x2=2.5x_{2} = 2.5
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0.779395100250641, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -4.33327163992469]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
x2=2.5x_{2} = 2.5
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x24x+52x25x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{2 x^{2} - 5 x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limx(x24x+52x25x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{2 x^{2} - 5 x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(5 - 4*x - x^2)/(2*x^2 - 5*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x24x+5x(2x25x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{x \left(2 x^{2} - 5 x\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(x24x+5x(2x25x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{x \left(2 x^{2} - 5 x\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x24x+52x25x=x2+4x+52x2+5x\frac{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{2 x^{2} - 5 x} = \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{2 x^{2} + 5 x}
- Нет
x24x+52x25x=x2+4x+52x2+5x\frac{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}}{2 x^{2} - 5 x} = - \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}}{2 x^{2} + 5 x}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = sqrt(5-4*x-x^2)/(2*x^2-5*x) /media/krcore-image-pods/hash/xy/2/97/71cd1620f52e4027f0a09be214595.png