Точки, в которых функция точно неопределена: x1=0 x2=2.5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: 2x2−5x−x2−4x+5=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=−5 x2=1 Численное решение x1=−5 x2=1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в sqrt(5 - 4*x - x^2)/(2*x^2 - 5*x). 2⋅02−5⋅0−0⋅4−02+5 Результат: f(0)=∞~ зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная (2x2−5x)2(5−4x)−x2−4x+5+(2x2−5x)−x2−4x+5−x−2=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−23⋅232⋅33−32⋅332−2 Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нет Максимумов у функции нет Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная x(2x−5)1(−(−x2−4x+5)23(x+2)2−−x2−4x+51+x(2x−5)−x2−4x+52(x+2)(4x−5)−x(2x−5)4−x2−4x+5+x2(2x−5)22(4x−5)2−x2−4x+5)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−11.81146916156 x2=−4.33327163992469 x3=0.779395100250641 x4=1.35783944713454 Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции: Точки, где есть неопределённость: x1=0 x2=2.5
x→0−lim(x(2x−5)1(−(−x2−4x+5)23(x+2)2−−x2−4x+51+x(2x−5)−x2−4x+52(x+2)(4x−5)−x(2x−5)4−x2−4x+5+x2(2x−5)22(4x−5)2−x2−4x+5))=∞ x→0+lim(x(2x−5)1(−(−x2−4x+5)23(x+2)2−−x2−4x+51+x(2x−5)−x2−4x+52(x+2)(4x−5)−x(2x−5)4−x2−4x+5+x2(2x−5)22(4x−5)2−x2−4x+5))=−∞ - пределы не равны, зн. x1=0 - является точкой перегиба x→2.5−lim(x(2x−5)1(−(−x2−4x+5)23(x+2)2−−x2−4x+51+x(2x−5)−x2−4x+52(x+2)(4x−5)−x(2x−5)4−x2−4x+5+x2(2x−5)22(4x−5)2−x2−4x+5))=−∞i x→2.5+lim(x(2x−5)1(−(−x2−4x+5)23(x+2)2−−x2−4x+51+x(2x−5)−x2−4x+52(x+2)(4x−5)−x(2x−5)4−x2−4x+5+x2(2x−5)22(4x−5)2−x2−4x+5))=∞i - пределы не равны, зн. x2=2.5 - является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
[0.779395100250641, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, -4.33327163992469]
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=0 x2=2.5
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(2x2−5x−x2−4x+5)=0 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0 x→∞lim(2x2−5x−x2−4x+5)=0 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(5 - 4*x - x^2)/(2*x^2 - 5*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x(2x2−5x)−x2−4x+5)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(x(2x2−5x)−x2−4x+5)=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: 2x2−5x−x2−4x+5=2x2+5x−x2+4x+5 - Нет 2x2−5x−x2−4x+5=−2x2+5x−x2+4x+5 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной