График функции y = sqrt(2*x-7)/x^2

Вы ввели

         _________
       \/ 2*x - 7 
f(x) = -----------
             2    
            x     

$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2 x - 7}}{x^{2}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при ChainedEq(f, 0)
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sqrt{2 x - 7}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 3.5$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(2*x - 1*7)/(x^2).
$$\frac{\sqrt{\left(-1\right) 7 + 2 \cdot 0}}{0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 x - 7}} - \frac{2 \sqrt{2 x - 7}}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{14}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

           __________ 
       9*\/ 28/3 - 7  
(14/3, --------------)
            196       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{14}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{14}{3}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{14}{3}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{- \frac{1}{\left(2 x - 7\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{x \sqrt{2 x - 7}} + \frac{6 \sqrt{2 x - 7}}{x^{2}}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{14}{3} - \frac{7 \sqrt{10}}{15}$$
$$x_{2} = \frac{7 \sqrt{10}}{15} + \frac{14}{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{1}{\left(2 x - 7\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{x \sqrt{2 x - 7}} + \frac{6 \sqrt{2 x - 7}}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{1}{\left(2 x - 7\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{x \sqrt{2 x - 7}} + \frac{6 \sqrt{2 x - 7}}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{7 \sqrt{10}}{15} + \frac{14}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{7 \sqrt{10}}{15} + \frac{14}{3}\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2 x - 7}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2 x - 7}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(2*x - 1*7)/(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2 x - 7}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2 x - 7}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sqrt{2 x - 7}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{- 2 x - 7}}{x^{2}}$$
- Нет
$$\frac{\sqrt{2 x - 7}}{x^{2}} = - \frac{\sqrt{- 2 x - 7}}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График