График функции y = (2*x-8)/(x-3)^3

       2*x - 8 
f(x) = --------
              3
       (x - 3) 

$$f{\left (x \right )} = \frac{2 x - 8}{\left(x - 3\right)^{3}}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 3$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x - 8}{\left(x - 3\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 4$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x - 8)/(x - 3)^3.
$$\frac{1}{\left(-3\right)^{3}} \left(-8 + 0 \cdot 2\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{8}{27}$$
Точка:

(0, 8/27)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2}{\left(x - 3\right)^{3}} - \frac{6 x - 24}{\left(x - 3\right)^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{9}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(9/2, 8/27)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{9}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, 9/2]

Возрастает на промежутках

[9/2, oo)

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(x - 3\right)^{4}} \left(\frac{24 x - 96}{x - 3} - 12\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 5$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 3$$

$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{1}{\left(x - 3\right)^{4}} \left(\frac{24 x - 96}{x - 3} - 12\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{1}{\left(x - 3\right)^{4}} \left(\frac{24 x - 96}{x - 3} - 12\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 3$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[5, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 5]

Есть:
$$x_{1} = 3$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 8}{\left(x - 3\right)^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 8}{\left(x - 3\right)^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x - 8)/(x - 3)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 8}{x \left(x - 3\right)^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 8}{x \left(x - 3\right)^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x - 8}{\left(x - 3\right)^{3}} = \frac{- 2 x - 8}{\left(- x - 3\right)^{3}}$$
- Нет
$$\frac{2 x - 8}{\left(x - 3\right)^{3}} = - \frac{- 2 x - 8}{\left(- x - 3\right)^{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной