График функции y = (2*x-8)/(x-3)^3

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       2*x - 8 
f(x) = --------
              3
       (x - 3) 
f(x)=2x8(x3)3f{\left (x \right )} = \frac{2 x - 8}{\left(x - 3\right)^{3}}
График функции
02468-4-2101214-10001000
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=3x_{1} = 3
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2x8(x3)3=0\frac{2 x - 8}{\left(x - 3\right)^{3}} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=4x_{1} = 4
Численное решение
x1=4x_{1} = 4
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x - 8)/(x - 3)^3.
1(3)3(8+02)\frac{1}{\left(-3\right)^{3}} \left(-8 + 0 \cdot 2\right)
Результат:
f(0)=827f{\left (0 \right )} = \frac{8}{27}
Точка:
(0, 8/27)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2(x3)36x24(x3)4=0\frac{2}{\left(x - 3\right)^{3}} - \frac{6 x - 24}{\left(x - 3\right)^{4}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=92x_{1} = \frac{9}{2}
Зн. экстремумы в точках:
(9/2, 8/27)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x1=92x_{1} = \frac{9}{2}
Убывает на промежутках
(-oo, 9/2]

Возрастает на промежутках
[9/2, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1(x3)4(24x96x312)=0\frac{1}{\left(x - 3\right)^{4}} \left(\frac{24 x - 96}{x - 3} - 12\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=5x_{1} = 5
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=3x_{1} = 3

limx3(1(x3)4(24x96x312))=\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{1}{\left(x - 3\right)^{4}} \left(\frac{24 x - 96}{x - 3} - 12\right)\right) = \infty
limx3+(1(x3)4(24x96x312))=\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{1}{\left(x - 3\right)^{4}} \left(\frac{24 x - 96}{x - 3} - 12\right)\right) = -\infty
- пределы не равны, зн.
x1=3x_{1} = 3
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[5, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 5]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=3x_{1} = 3
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(2x8(x3)3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 8}{\left(x - 3\right)^{3}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limx(2x8(x3)3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 8}{\left(x - 3\right)^{3}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x - 8)/(x - 3)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(2x8x(x3)3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 8}{x \left(x - 3\right)^{3}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(2x8x(x3)3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 8}{x \left(x - 3\right)^{3}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2x8(x3)3=2x8(x3)3\frac{2 x - 8}{\left(x - 3\right)^{3}} = \frac{- 2 x - 8}{\left(- x - 3\right)^{3}}
- Нет
2x8(x3)3=2x8(x3)3\frac{2 x - 8}{\left(x - 3\right)^{3}} = - \frac{- 2 x - 8}{\left(- x - 3\right)^{3}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной