График функции y = 1/3*x^3-5/2*x^2+6*x

Вы ввели

        3      2      
       x    5*x       
f(x) = -- - ---- + 6*x
       3     2        

$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 6 x$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 6 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/3 - 5*x^2/2 + 6*x.
$$\frac{0^{3}}{3} - \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + 6 \cdot 0$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$x^{2} - 5 x + 6 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:

(2, 14/3)

(3, 9/2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 2\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[2, 3\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$2 x - 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{5}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 6 x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 6 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 - 5*x^2/2 + 6*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 6 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 6 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 6 x = - \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 6 x$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 6 x = \frac{x^{3}}{3} + \frac{5 x^{2}}{2} + 6 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График