График функции y = (x-2)/(x+1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       x - 2
f(x) = -----
       x + 1
f(x)=x2x+1f{\left (x \right )} = \frac{x - 2}{x + 1}
График функции
-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.52.00.00.51.01.5-100100
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=1x_{1} = -1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x2x+1=0\frac{x - 2}{x + 1} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=2x_{1} = 2
Численное решение
x1=2x_{1} = 2
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x - 2)/(x + 1).
2- 2
Результат:
f(0)=2f{\left (0 \right )} = -2
Точка:
(0, -2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
x2(x+1)2+1x+1=0- \frac{x - 2}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1(x+1)2(2x4x+12)=0\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(\frac{2 x - 4}{x + 1} - 2\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=1x_{1} = -1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x2x+1)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x + 1}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1y = 1
limx(x2x+1)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x + 1}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1y = 1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 2)/(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x2x(x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(x2x(x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x2x+1=x2x+1\frac{x - 2}{x + 1} = \frac{- x - 2}{- x + 1}
- Нет
x2x+1=x2x+1\frac{x - 2}{x + 1} = - \frac{- x - 2}{- x + 1}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной