График функции y = 1-1/(1+x/20)

             1   
f(x) = 1 - ------
               x 
           1 + --
               20

$$f{\left (x \right )} = 1 - \frac{1}{\frac{x}{20} + 1}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -20$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$1 - \frac{1}{\frac{x}{20} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1 - 1/(1 + x/20).
$$- \frac{1}{\frac{0}{20} + 1} + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{20 \left(\frac{x}{20} + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{1}{200 \left(\frac{x}{20} + 1\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Есть:
$$x_{1} = -20$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 - \frac{1}{\frac{x}{20} + 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{1}{\frac{x}{20} + 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 - 1/(1 + x/20), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(1 - \frac{1}{\frac{x}{20} + 1}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(1 - \frac{1}{\frac{x}{20} + 1}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$1 - \frac{1}{\frac{x}{20} + 1} = 1 - \frac{1}{- \frac{x}{20} + 1}$$
- Нет
$$1 - \frac{1}{\frac{x}{20} + 1} = -1 - - \frac{1}{- \frac{x}{20} + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной