График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: $$x^{3} + 9 x - 1 = 0$$ Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение $$x_{1} = - \frac{3}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{109}}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{109}}{2}}$$ Численное решение $$x_{1} = 0.110959319126$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^3 + 9*x - 1. $$-1 + 0^{3} + 0 \cdot 9$$ Результат: $$f{\left (0 \right )} = -1$$ Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$ Первая производная $$3 x^{2} + 9 = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$ Вторая производная $$6 x = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = 0$$
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
[0, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, 0]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + 9 x - 1\right) = -\infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует $$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 9 x - 1\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 9*x - 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} + 9 x - 1\right)\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} + 9 x - 1\right)\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: $$x^{3} + 9 x - 1 = - x^{3} - 9 x - 1$$ - Нет $$x^{3} + 9 x - 1 = - -1 x^{3} - - 9 x + 1$$ - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной