Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная$$\frac{2 x}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнениеКорни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{2 x}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 3\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{2 x}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 3\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -4$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{2 x}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 3\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{2 x}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 3\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 4$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 0]
Выпуклая на промежутках
[0, oo)