График функции y = 2*|x-4|-x^2+9*x-20

Вы ввели

                    2           
f(x) = 2*|x - 4| - x  + 9*x - 20

$$f{\left(x \right)} = \left(9 x + \left(- x^{2} + 2 \left|{x - 4}\right|\right)\right) - 20$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(9 x + \left(- x^{2} + 2 \left|{x - 4}\right|\right)\right) - 20 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 7$$
Численное решение
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{3} = 3$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*|x - 4| - x^2 + 9*x - 20.
$$-20 + \left(0 \cdot 9 + \left(- 0^{2} + 2 \left|{-4}\right|\right)\right)$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -12$$
Точка:

(0, -12)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2 x + 2 \operatorname{sign}{\left(x - 4 \right)} + 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 5.5$$
$$x_{2} = 3.5$$
Зн. экстремумы в точках:

(5.5, 2.25)

(3.5, 0.25)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 5.5$$
$$x_{2} = 3.5$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 3.5\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[5.5, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(2 \delta\left(x - 4\right) - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(9 x + \left(- x^{2} + 2 \left|{x - 4}\right|\right)\right) - 20\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(9 x + \left(- x^{2} + 2 \left|{x - 4}\right|\right)\right) - 20\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*|x - 4| - x^2 + 9*x - 20, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(9 x + \left(- x^{2} + 2 \left|{x - 4}\right|\right)\right) - 20}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(9 x + \left(- x^{2} + 2 \left|{x - 4}\right|\right)\right) - 20}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(9 x + \left(- x^{2} + 2 \left|{x - 4}\right|\right)\right) - 20 = - x^{2} - 9 x + 2 \left|{x + 4}\right| - 20$$
- Нет
$$\left(9 x + \left(- x^{2} + 2 \left|{x - 4}\right|\right)\right) - 20 = x^{2} + 9 x - 2 \left|{x + 4}\right| + 20$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График