График функции y = 2*|x-4|-x^2+9*x-20

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
                    2           
f(x) = 2*|x - 4| - x  + 9*x - 20
f(x)=x2+9x+2x420f{\left(x \right)} = - x^{2} + 9 x + 2 \left|{x - 4}\right| - 20
График функции
02468-8-6-4-2-1010-200200
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x2+9x+2x420=0- x^{2} + 9 x + 2 \left|{x - 4}\right| - 20 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=3x_{1} = 3
x2=4x_{2} = 4
x3=7x_{3} = 7
Численное решение
x1=4x_{1} = 4
x2=3x_{2} = 3
x3=7x_{3} = 7
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*|x - 1*4| - x^2 + 9*x - 1*20.
(1)2002+90+2(1)4+0\left(-1\right) 20 - 0^{2} + 9 \cdot 0 + 2 \left|{\left(-1\right) 4 + 0}\right|
Результат:
f(0)=12f{\left(0 \right)} = -12
Точка:
(0, -12)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
2x+2sign(x4)+9=0- 2 x + 2 \operatorname{sign}{\left(x - 4 \right)} + 9 = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=5.5x_{1} = 5.5
x2=3.5x_{2} = 3.5
Зн. экстремумы в точках:
(5.5, 22.25 - 20)

(3.5, 20.25 - 20)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x2=5.5x_{2} = 5.5
x2=3.5x_{2} = 3.5
Убывает на промежутках
(,3.5]\left(-\infty, 3.5\right]
Возрастает на промежутках
[5.5,)\left[5.5, \infty\right)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2(2δ(x4)1)=02 \cdot \left(2 \delta\left(x - 4\right) - 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(x2+9x+2x420)=\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + 9 x + 2 \left|{x - 4}\right| - 20\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(x2+9x+2x420)=\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + 9 x + 2 \left|{x - 4}\right| - 20\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*|x - 1*4| - x^2 + 9*x - 1*20, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(x2+9x+2x420x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 9 x + 2 \left|{x - 4}\right| - 20}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
limx(x2+9x+2x420x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 9 x + 2 \left|{x - 4}\right| - 20}{x}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x2+9x+2x420=x29x+2x+420- x^{2} + 9 x + 2 \left|{x - 4}\right| - 20 = - x^{2} - 9 x + 2 \left|{x + 4}\right| - 20
- Нет
x2+9x+2x420=x2+9x2x+4+20- x^{2} + 9 x + 2 \left|{x - 4}\right| - 20 = x^{2} + 9 x - 2 \left|{x + 4}\right| + 20
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = 2*|x-4|-x^2+9*x-20 /media/krcore-image-pods/hash/xy/e/68/44fb2bb7642b9547c3771f13f9237.png