График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: −x2+9x+2∣x−4∣−20=0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение x1=3 x2=4 x3=7 Численное решение x1=4 x2=3 x3=7
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в 2*|x - 1*4| - x^2 + 9*x - 1*20. (−1)20−02+9⋅0+2∣(−1)4+0∣ Результат: f(0)=−12 Точка:
(0, -12)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная −2x+2sign(x−4)+9=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=5.5 x2=3.5 Зн. экстремумы в точках:
(5.5, 22.25 - 20)
(3.5, 20.25 - 20)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нет Максимумы функции в точках: x2=5.5 x2=3.5 Убывает на промежутках (−∞,3.5] Возрастает на промежутках [5.5,∞)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная 2⋅(2δ(x−4)−1)=0 Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(−x2+9x+2∣x−4∣−20)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует x→∞lim(−x2+9x+2∣x−4∣−20)=−∞ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*|x - 1*4| - x^2 + 9*x - 1*20, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x−x2+9x+2∣x−4∣−20)=∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты слева не существует x→∞lim(x−x2+9x+2∣x−4∣−20)=−∞ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: −x2+9x+2∣x−4∣−20=−x2−9x+2∣x+4∣−20 - Нет −x2+9x+2∣x−4∣−20=x2+9x−2∣x+4∣+20 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной