График функции y = 2*|x-4|-x^2+9*x-20

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

                    2           
f(x) = 2*|x - 4| - x  + 9*x - 20

$$f{\left (x \right )} = 9 x + - x^{2} + 2 \left|{x - 4}\right| - 20$$

Точки пересечения с осью координат X

[TeX]

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$9 x + - x^{2} + 2 \left|{x - 4}\right| - 20 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 7$$
Численное решение
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{3} = 3$$

Точки пересечения с осью координат Y

[TeX]

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*|x - 4| - x^2 + 9*x - 20.
$$-20 + 0 \cdot 9 + - 0 + 2 \left|{-4}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -12$$
Точка:

(0, -12)

Экстремумы функции

[TeX]

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 2 x + 2 \operatorname{sign}{\left (x - 4 \right )} + 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 5.5$$
$$x_{2} = 3.5$$
Зн. экстремумы в точках:

(5.5, 2.25)

(3.5, 0.25)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 5.5$$
$$x_{2} = 3.5$$
Убывает на промежутках

(-oo, 3.5]

Возрастает на промежутках

[5.5, oo)

Горизонтальные асимптоты

[TeX]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(9 x + - x^{2} + 2 \left|{x - 4}\right| - 20\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 x + - x^{2} + 2 \left|{x - 4}\right| - 20\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

[TeX]

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*|x - 4| - x^2 + 9*x - 20, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(9 x + - x^{2} + 2 \left|{x - 4}\right| - 20\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(9 x + - x^{2} + 2 \left|{x - 4}\right| - 20\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

[TeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$9 x + - x^{2} + 2 \left|{x - 4}\right| - 20 = - x^{2} - 9 x + 2 \left|{x + 4}\right| - 20$$
- Нет
$$9 x + - x^{2} + 2 \left|{x - 4}\right| - 20 = - -1 x^{2} - - 9 x - 2 \left|{x + 4}\right| + 20$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной