Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная$$\frac{\pi}{x^{3}} \left(2 \cos{\left (\frac{\pi}{x} \right )} - \frac{\pi}{x} \sin{\left (\frac{\pi}{x} \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнениеКорни этого ур-ния
$$x_{1} = 0.326244661396$$
$$x_{2} = -0.477566627239$$
$$x_{3} = -2.91732616213$$
$$x_{4} = -0.326244661396$$
$$x_{5} = 0.862222827945$$
$$x_{6} = -0.862222827945$$
$$x_{7} = 2.91732616213$$
$$x_{8} = -0.246935928007$$
$$x_{9} = 0.477566627239$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
True
True
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[2.91732616213, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, -2.91732616213]