Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0
x2=1.25
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
4x2−5x4x−5=0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Численное решение
x1=1.25
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (4*x - 5)/(4*x^2 - 5*x).
4⋅02−0−5+0⋅4
Результат:
f(0)=∞~
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
dxdf(x)=0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
dxdf(x)=
Первая производная
(4x2−5x)2(−8x+5)(4x−5)+4x2−5x4=0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
dx2d2f(x)=0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
dx2d2f(x)=
Вторая производная
x2(4x−5)1(−8−4x−564x−40+x(4x−5)2(8x−5)2)=0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0
x2=1.25
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
x→−∞lim(4x2−5x4x−5)=0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0
x→∞lim(4x2−5x4x−5)=0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4*x - 5)/(4*x^2 - 5*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
x→−∞lim(x(4x2−5x)4x−5)=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
x→∞lim(x(4x2−5x)4x−5)=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
4x2−5x4x−5=4x2+5x−4x−5
- Нет
4x2−5x4x−5=−4x2+5x−4x−5
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной