График функции y = (4*x-5)/(4*x^2-5*x)

        4*x - 5  
f(x) = ----------
          2      
       4*x  - 5*x

$$f{\left (x \right )} = \frac{4 x - 5}{4 x^{2} - 5 x}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.25$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{4 x - 5}{4 x^{2} - 5 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 1.25$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (4*x - 5)/(4*x^2 - 5*x).
$$\frac{-5 + 0 \cdot 4}{4 \cdot 0^{2} - 0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\left(- 8 x + 5\right) \left(4 x - 5\right)}{\left(4 x^{2} - 5 x\right)^{2}} + \frac{4}{4 x^{2} - 5 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2} \left(4 x - 5\right)} \left(-8 - \frac{64 x - 40}{4 x - 5} + \frac{2 \left(8 x - 5\right)^{2}}{x \left(4 x - 5\right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.25$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x - 5}{4 x^{2} - 5 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x - 5}{4 x^{2} - 5 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4*x - 5)/(4*x^2 - 5*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x - 5}{x \left(4 x^{2} - 5 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x - 5}{x \left(4 x^{2} - 5 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{4 x - 5}{4 x^{2} - 5 x} = \frac{- 4 x - 5}{4 x^{2} + 5 x}$$
- Нет
$$\frac{4 x - 5}{4 x^{2} - 5 x} = - \frac{- 4 x - 5}{4 x^{2} + 5 x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной