График функции y = (4*x-5)/(4*x^2-5*x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        4*x - 5  
f(x) = ----------
          2      
       4*x  - 5*x
f(x)=4x54x25xf{\left (x \right )} = \frac{4 x - 5}{4 x^{2} - 5 x}
График функции
02468-8-6-4-2-1010-1010
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
x2=1.25x_{2} = 1.25
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
4x54x25x=0\frac{4 x - 5}{4 x^{2} - 5 x} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
x1=1.25x_{1} = 1.25
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (4*x - 5)/(4*x^2 - 5*x).
5+044020\frac{-5 + 0 \cdot 4}{4 \cdot 0^{2} - 0}
Результат:
f(0)=~f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
(8x+5)(4x5)(4x25x)2+44x25x=0\frac{\left(- 8 x + 5\right) \left(4 x - 5\right)}{\left(4 x^{2} - 5 x\right)^{2}} + \frac{4}{4 x^{2} - 5 x} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
1x2(4x5)(864x404x5+2(8x5)2x(4x5))=0\frac{1}{x^{2} \left(4 x - 5\right)} \left(-8 - \frac{64 x - 40}{4 x - 5} + \frac{2 \left(8 x - 5\right)^{2}}{x \left(4 x - 5\right)}\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
x2=1.25x_{2} = 1.25
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(4x54x25x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x - 5}{4 x^{2} - 5 x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limx(4x54x25x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x - 5}{4 x^{2} - 5 x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4*x - 5)/(4*x^2 - 5*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(4x5x(4x25x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x - 5}{x \left(4 x^{2} - 5 x\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(4x5x(4x25x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x - 5}{x \left(4 x^{2} - 5 x\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
4x54x25x=4x54x2+5x\frac{4 x - 5}{4 x^{2} - 5 x} = \frac{- 4 x - 5}{4 x^{2} + 5 x}
- Нет
4x54x25x=4x54x2+5x\frac{4 x - 5}{4 x^{2} - 5 x} = - \frac{- 4 x - 5}{4 x^{2} + 5 x}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной