График функции y = x^4/4+x^3-12*x^2+4

Вы ввели

        4                 
       x     3       2    
f(x) = -- + x  - 12*x  + 4
       4                  

$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 12 x^{2} + 4$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 12 x^{2} + 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1 - \sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} - \sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}} + \frac{26}{\sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}} - \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}}$$
$$x_{2} = -1 - \sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + \sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}} + \frac{26}{\sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}} - \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}}$$
$$x_{3} = -1 + \sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} - \sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}} - \frac{26}{\sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}} - \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}}$$
$$x_{4} = -1 + \sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}} - \frac{26}{\sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}} - \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}} + \sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 5.16946816825426$$
$$x_{2} = -9.19797755928964$$
$$x_{3} = -0.566004420533716$$
$$x_{4} = 0.5945138115691$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4/4 + x^3 - 12*x^2 + 4.
$$\frac{0^{4}}{4} + 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} + 4$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 4$$
Точка:

(0, 4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$x^{3} + 3 x^{2} - 24 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{105}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{105}}{2} - \frac{3}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 4)

                                                                            4 
                                                             /        _____\  
                                   3                     2   |  3   \/ 105 |  
         _____      /        _____\       /        _____\    |- - + -------|  
   3   \/ 105       |  3   \/ 105 |       |  3   \/ 105 |    \  2      2   /  
(- - + -------, 4 + |- - + -------|  - 12*|- - + -------|  + ----------------)
   2      2         \  2      2   /       \  2      2   /           4         

                                                                            4 
                                                             /        _____\  
                                   3                     2   |  3   \/ 105 |  
         _____      /        _____\       /        _____\    |- - - -------|  
   3   \/ 105       |  3   \/ 105 |       |  3   \/ 105 |    \  2      2   /  
(- - - -------, 4 + |- - - -------|  - 12*|- - - -------|  + ----------------)
   2      2         \  2      2   /       \  2      2   /           4         

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{105}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{105}}{2} - \frac{3}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{105}}{2} - \frac{3}{2}, 0\right] \cup \left[- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{105}}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{105}}{2} - \frac{3}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{105}}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$3 \left(x^{2} + 2 x - 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-4, 2\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 12 x^{2} + 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 12 x^{2} + 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/4 + x^3 - 12*x^2 + 4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 12 x^{2} + 4}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 12 x^{2} + 4}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 12 x^{2} + 4 = \frac{x^{4}}{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 4$$
- Нет
$$\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 12 x^{2} + 4 = - \frac{x^{4}}{4} + x^{3} + 12 x^{2} - 4$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График