Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная$$x^{3} + 3 x^{2} - 24 x = 0$$
Решаем это уравнениеКорни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{105}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{105}}{2} - \frac{3}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 4)
4
/ _____\
3 2 | 3 \/ 105 |
_____ / _____\ / _____\ |- - + -------|
3 \/ 105 | 3 \/ 105 | | 3 \/ 105 | \ 2 2 /
(- - + -------, 4 + |- - + -------| - 12*|- - + -------| + ----------------)
2 2 \ 2 2 / \ 2 2 / 4
4
/ _____\
3 2 | 3 \/ 105 |
_____ / _____\ / _____\ |- - - -------|
3 \/ 105 | 3 \/ 105 | | 3 \/ 105 | \ 2 2 /
(- - - -------, 4 + |- - - -------| - 12*|- - - -------| + ----------------)
2 2 \ 2 2 / \ 2 2 / 4
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{105}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{105}}{2} - \frac{3}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Убывает на промежутках
[-sqrt(105)/2 - 3/2, 0] U [-3/2 + sqrt(105)/2, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, -sqrt(105)/2 - 3/2] U [0, -3/2 + sqrt(105)/2]