График функции y = x^4/4+x^3-12*x^2+4
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
4
x 3 2
f(x) = -- + x - 12*x + 4
4
$$f{\left (x \right )} = - 12 x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + x^{3} + 4$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 12 x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + x^{3} + 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1 - \sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} - \sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}} + \frac{26}{\sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}} - \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}}$$
$$x_{2} = -1 - \sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + \sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}} + \frac{26}{\sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}} - \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}}$$
$$x_{3} = -1 + \sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} - \sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}} - \frac{26}{\sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}} - \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}}$$
$$x_{4} = -1 + \sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}} - \frac{26}{\sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}} - \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}} + \sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 5.16946816825$$
$$x_{2} = -9.19797755929$$
$$x_{3} = 0.594513811569$$
$$x_{4} = -0.566004420534$$
значит надо решить уравнение:
$$- 12 x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + x^{3} + 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1 - \sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} - \sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}} + \frac{26}{\sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}} - \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}}$$
$$x_{2} = -1 - \sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + \sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}} + \frac{26}{\sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}} - \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}}$$
$$x_{3} = -1 + \sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} - \sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}} - \frac{26}{\sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}} - \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}}$$
$$x_{4} = -1 + \sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}} - \frac{26}{\sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}} - \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}} + \sqrt{9 + \frac{26}{3 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{23}{4} + \frac{\sqrt{62607} i}{36}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 5.16946816825$$
$$x_{2} = -9.19797755929$$
$$x_{3} = 0.594513811569$$
$$x_{4} = -0.566004420534$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4/4 + x^3 - 12*x^2 + 4.
$$\frac{0^{4}}{4} + 0^{3} - 0 + 4$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 4$$
Точка:
подставляем x = 0 в x^4/4 + x^3 - 12*x^2 + 4.
$$\frac{0^{4}}{4} + 0^{3} - 0 + 4$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 4$$
Точка:
(0, 4)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{3} + 3 x^{2} - 24 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{105}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{105}}{2} - \frac{3}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{105}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{105}}{2} - \frac{3}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{3} + 3 x^{2} - 24 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{105}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{105}}{2} - \frac{3}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 4)
4
/ _____\
3 2 | 3 \/ 105 |
_____ / _____\ / _____\ |- - + -------|
3 \/ 105 | 3 \/ 105 | | 3 \/ 105 | \ 2 2 /
(- - + -------, 4 + |- - + -------| - 12*|- - + -------| + ----------------)
2 2 \ 2 2 / \ 2 2 / 4 4
/ _____\
3 2 | 3 \/ 105 |
_____ / _____\ / _____\ |- - - -------|
3 \/ 105 | 3 \/ 105 | | 3 \/ 105 | \ 2 2 /
(- - - -------, 4 + |- - - -------| - 12*|- - - -------| + ----------------)
2 2 \ 2 2 / \ 2 2 / 4 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{105}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{105}}{2} - \frac{3}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Убывает на промежутках
[-sqrt(105)/2 - 3/2, 0] U [-3/2 + sqrt(105)/2, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, -sqrt(105)/2 - 3/2] U [0, -3/2 + sqrt(105)/2]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$3 \left(x^{2} + 2 x - 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$3 \left(x^{2} + 2 x - 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -4] U [2, oo)
Выпуклая на промежутках
[-4, 2]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 12 x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + x^{3} + 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 12 x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + x^{3} + 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 12 x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + x^{3} + 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 12 x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + x^{3} + 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/4 + x^3 - 12*x^2 + 4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 12 x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + x^{3} + 4\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 12 x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + x^{3} + 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 12 x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + x^{3} + 4\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 12 x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + x^{3} + 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 12 x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + x^{3} + 4 = \frac{x^{4}}{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 4$$
- Нет
$$- 12 x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + x^{3} + 4 = - \frac{x^{4}}{4} - - x^{3} - - 12 x^{2} - 4$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$- 12 x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + x^{3} + 4 = \frac{x^{4}}{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 4$$
- Нет
$$- 12 x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + x^{3} + 4 = - \frac{x^{4}}{4} - - x^{3} - - 12 x^{2} - 4$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной