Интеграл a/(a-x) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |    a     
 |  ----- dx
 |  a - x   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{a}{a - x}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{a}{a - x}\, dx = a \int \frac{1}{a - x}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = a - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \log{\left (a - x \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{a - x} = - \frac{1}{- a + x}$

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{- a + x}\, dx = - \int \frac{1}{- a + x}\, dx$

         1. пусть $u = - a + x$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (- a + x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (- a + x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- a \log{\left (a - x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- a \log{\left (a - x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- a \log{\left (a - x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |    a                                
 |  ----- dx = a*log(-a) - a*log(1 - a)
 |  a - x                              
 |                                     
/                                      
0                                      

$$\int_{0}^{1} \frac{a}{a - x}\, dx = a \log{\left (- a \right )} - a \log{\left (- a + 1 \right )}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                            
 |   a                        
 | ----- dx = C - a*log(a - x)
 | a - x                      
 |                            
/                             

$$-a\,\log \left(a-x\right)$$