Интеграл acos(2*x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |  acos(2*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left(2 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \operatorname{acos}{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{acos}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du$

            1. пусть $u = - u^{2} + 1$.

               Тогда пусть $du = - 2 u du$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \sqrt{- u^{2} + 1}$

            Таким образом, результат будет: $\sqrt{- u^{2} + 1}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} \operatorname{acos}{\left (u \right )} - \frac{1}{2} \sqrt{- u^{2} + 1}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x \operatorname{acos}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 x^{2} + 1}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{acos}{\left (2 x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{2}{\sqrt{- 4 x^{2} + 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{2 x}{\sqrt{- 4 x^{2} + 1}}\, dx = - 2 \int \frac{x}{\sqrt{- 4 x^{2} + 1}}\, dx$

      1. пусть $u = - 4 x^{2} + 1$.

         Тогда пусть $du = - 8 x dx$ и подставим $- \frac{du}{8}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{u}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{4} \sqrt{- 4 x^{2} + 1}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sqrt{- 4 x^{2} + 1}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \operatorname{acos}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \operatorname{acos}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

        ___          
1   I*\/ 3           
- - ------- + acos(2)
2      2             

$$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} + \operatorname{acos}{\left(2 \right)}$$

=

=

        ___          
1   I*\/ 3           
- - ------- + acos(2)
2      2             

$$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} + \operatorname{acos}{\left(2 \right)}$$

Численный ответ

(0.499434621575381 + 0.45036739819618j)

Ответ (Неопределённый)

                         __________              
  /                     /        2               
 |                    \/  1 - 4*x                
 | acos(2*x) dx = C - ------------- + x*acos(2*x)
 |                          2                    
/                                                

$$\int \operatorname{acos}{\left(2 x \right)}\, dx = C + x \operatorname{acos}{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{2}$$

График