Интеграл acot(2*x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |  acot(2*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\operatorname{acot}{\left(u \right)}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\operatorname{acot}{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \operatorname{acot}{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = \operatorname{acot}{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{1}{u^{2} + 1}$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{u}{u^{2} + 1}\right)\, du = - \int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

               1. пусть $u = u^{2} + 1$.

                  Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u \operatorname{acot}{\left(u \right)}}{2} + \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x \operatorname{acot}{\left(2 x \right)} + \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{4 x^{2} + 1}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{2 x}{4 x^{2} + 1}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{8 x}{4 x^{2} + 1}\, dx}{8}$

         1. пусть $u = 4 x^{2} + 1$.

            Тогда пусть $du = 8 x dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

            $\int \frac{1}{8 u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{8}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \operatorname{acot}{\left(2 x \right)} + \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \operatorname{acot}{\left(2 x \right)} + \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

log(5)          
------ + acot(2)
  4             

$$\frac{\log{\left(5 \right)}}{4} + \operatorname{acot}{\left(2 \right)}$$

=

=

log(5)          
------ + acot(2)
  4             

$$\frac{\log{\left(5 \right)}}{4} + \operatorname{acot}{\left(2 \right)}$$

Численный ответ

0.866007087109331

Ответ (Неопределённый)

  /                      /       2\              
 |                    log\1 + 4*x /              
 | acot(2*x) dx = C + ------------- + x*acot(2*x)
 |                          4                    
/                                                

$$\int \operatorname{acot}{\left(2 x \right)}\, dx = C + x \operatorname{acot}{\left(2 x \right)} + \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}$$

График