Интеграл atan(4*x-1) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |  atan(4*x - 1) dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int\limits_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left(4 x - 1 \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = 4 x - 1$.

   Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

   $\int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{atan}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u^{2} + 1}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. пусть $u = u^{2} + 1$.

         Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log{\left (u^{2} + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{4} \operatorname{atan}{\left (u \right )} - \frac{1}{8} \log{\left (u^{2} + 1 \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{1}{4} \left(4 x - 1\right) \operatorname{atan}{\left (4 x - 1 \right )} - \frac{1}{8} \log{\left (\left(4 x - 1\right)^{2} + 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{4} \left(4 x - 1\right) \operatorname{atan}{\left (4 x - 1 \right )} - \frac{1}{8} \log{\left (\left(4 x - 1\right)^{2} + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{4} \left(4 x - 1\right) \operatorname{atan}{\left (4 x - 1 \right )} - \frac{1}{8} \log{\left (\left(4 x - 1\right)^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{4} \left(4 x - 1\right) \operatorname{atan}{\left (4 x - 1 \right )} - \frac{1}{8} \log{\left (\left(4 x - 1\right)^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  log(5)   pi   3*atan(3)
- ------ - -- + ---------
    8      16       4    

$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{8} - \frac{\pi}{16} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{4}$$

=

=

  log(5)   pi   3*atan(3)
- ------ - -- + ---------
    8      16       4    

$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{8} - \frac{\pi}{16} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{4}$$

Численный ответ

0.539255049395066

Ответ (Неопределённый)

  /                          /             2\                          
 |                        log\1 + (4*x - 1) /   (4*x - 1)*atan(4*x - 1)
 | atan(4*x - 1) dx = C - ------------------- + -----------------------
 |                                 8                       4           
/                                                                      

$$\int \operatorname{atan}{\left(4 x - 1 \right)}\, dx = C + \frac{\left(4 x - 1\right) \operatorname{atan}{\left(4 x - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\left(4 x - 1\right)^{2} + 1 \right)}}{8}$$

График