Интеграл atan(2*x-4) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |  atan(2*x - 4) dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left (2 x - 4 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = 2 x - 4$.

   Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

   $\int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{atan}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u^{2} + 1}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. пусть $u = u^{2} + 1$.

         Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log{\left (u^{2} + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} \operatorname{atan}{\left (u \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (u^{2} + 1 \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{1}{2} \left(2 x - 4\right) \operatorname{atan}{\left (2 x - 4 \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (\left(2 x - 4\right)^{2} + 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\left(x - 2\right) \operatorname{atan}{\left (2 x - 4 \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (4 \left(x - 2\right)^{2} + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(x - 2\right) \operatorname{atan}{\left (2 x - 4 \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (4 \left(x - 2\right)^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(x - 2\right) \operatorname{atan}{\left (2 x - 4 \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (4 \left(x - 2\right)^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                           
  /                                                           
 |                                  log(5)   log(17)          
 |  atan(2*x - 4) dx = -2*atan(4) - ------ + ------- + atan(2)
 |                                    4         4             
/                                                             
0                                                             

$${{\log 17-8\,\arctan 4}\over{4}}-{{\log 5-4\,\arctan 2}\over{4}}$$

Численный ответ

-1.23854275163645

Ответ (Неопределённый)

  /                          /             2\                          
 |                        log\1 + (2*x - 4) /   (2*x - 4)*atan(2*x - 4)
 | atan(2*x - 4) dx = C - ------------------- + -----------------------
 |                                 4                       2           
/                                                                      

$${{\left(2\,x-4\right)\,\arctan \left(2\,x-4\right)-{{\log \left( \left(2\,x-4\right)^2+1\right)}\over{2}}}\over{2}}$$