Интеграл atan(sqrt(3*x-1)) (dx)

Вы ввели

  1                     
  /                     
 |                      
 |      /  _________\   
 |  atan\\/ 3*x - 1 / dx
 |                      
/                       
0                       

$$\int\limits_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3 x - 1} \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt{3 x - 1}$.

      Тогда пусть $du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x - 1}}$ и подставим $\frac{2 du}{3}$:

      $\int u \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du = \frac{2}{3} \int u \operatorname{atan}{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \operatorname{atan}{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = u$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u^{2} + 1}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{u^{2}}{2 u^{2} + 2}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{u^{2}}{u^{2} + 1}\, du$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{u^{2}}{u^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{u^{2} + 1}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int - \frac{1}{u^{2} + 1}\, du = - \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $- \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

               Результат есть: $u - \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{2}}{3} \operatorname{atan}{\left (u \right )} - \frac{u}{3} + \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{3} \sqrt{3 x - 1} + \frac{1}{3} \left(3 x - 1\right) \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3 x - 1} \right )} + \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3 x - 1} \right )}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3 x - 1} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{2 x \sqrt{3 x - 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{2 \sqrt{3 x - 1}}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{3 x - 1}}\, dx$

      1. пусть $u = 3 x - 1$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{2 \sqrt{u}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{2}{3} \sqrt{3 x - 1}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \sqrt{3 x - 1}$

2. Теперь упростить:

   $x \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3 x - 1} \right )} - \frac{1}{3} \sqrt{3 x - 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3 x - 1} \right )} - \frac{1}{3} \sqrt{3 x - 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3 x - 1} \right )} - \frac{1}{3} \sqrt{3 x - 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

    ___                  
  \/ 2    I       /  ___\
- ----- + - + atan\\/ 2 /
    3     3              

$$- \frac{\sqrt{2}}{3} + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)} + \frac{i}{3}$$

=

=

    ___                  
  \/ 2    I       /  ___\
- ----- + - + atan\\/ 2 /
    3     3              

$$- \frac{\sqrt{2}}{3} + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)} + \frac{i}{3}$$

Численный ответ

(0.483662953670434 + 0.332921192271523j)

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                        
 |                              _________       /  _________\                 /  _________\
 |     /  _________\          \/ 3*x - 1    atan\\/ 3*x - 1 /   (3*x - 1)*atan\\/ 3*x - 1 /
 | atan\\/ 3*x - 1 / dx = C - ----------- + ----------------- + ---------------------------
 |                                 3                3                        3             
/                                                                                          

$$\int \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3 x - 1} \right)}\, dx = C - \frac{\sqrt{3 x - 1}}{3} + \frac{\left(3 x - 1\right) \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3 x - 1} \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{3 x - 1} \right)}}{3}$$