Интеграл atan(1/x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |      /  1\   
 |  atan|1*-| dx
 |      \  x/   
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \frac{1}{x}$.

         Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $- du$:

         $\int \frac{1}{u^{3} + u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{3} + u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{3} + u}\, du$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{u^{3} + u} = - \frac{u}{u^{2} + 1} + \frac{1}{u}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \frac{u}{u^{2} + 1}\right)\, du = - \int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

                     1. пусть $u = u^{2} + 1$.

                        Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                        1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Результат есть: $\log{\left(u \right)} - \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)} + \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = x^{2} + 1$.

            Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

      Метод #3

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = x^{2} + 1$.

            Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

      Метод #4

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} = \frac{1}{x + \frac{1}{x}}$

      2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x + \frac{1}{x}} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = x^{2} + 1$.

               Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x + \frac{1}{x}} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = x^{2} + 1$.

               Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

   Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $x \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

log(2)   pi
------ + --
  2      4 

$$\frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\pi}{4}$$

=

=

log(2)   pi
------ + --
  2      4 

$$\frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\pi}{4}$$

Численный ответ

1.13197175367742

Ответ (Неопределённый)

                         /    1 \                       
  /                   log|1 + --|                       
 |                       |     2|                       
 |     /  1\             \    x /         /  1\         
 | atan|1*-| dx = C + ----------- + x*atan|1*-| + log(x)
 |     \  x/               2              \  x/         
 |                                                      
/                                                       

$$\int \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}\, dx = C + x \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} + \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}$$

График