Интеграл atan(5*x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |  atan(5*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left(5 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5 x$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{25}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du}{5}$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

            1. пусть $u = u^{2} + 1$.

               Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{5} - \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{10}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x \operatorname{atan}{\left(5 x \right)} - \frac{\log{\left(25 x^{2} + 1 \right)}}{10}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(5 x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{5}{25 x^{2} + 1}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{5 x}{25 x^{2} + 1}\, dx = 5 \int \frac{x}{25 x^{2} + 1}\, dx$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{x}{25 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{50 x}{25 x^{2} + 1}\, dx}{50}$

         1. пусть $u = 25 x^{2} + 1$.

            Тогда пусть $du = 50 x dx$ и подставим $\frac{du}{50}$:

            $\int \frac{1}{50 u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(25 x^{2} + 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(25 x^{2} + 1 \right)}}{50}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(25 x^{2} + 1 \right)}}{10}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \operatorname{atan}{\left(5 x \right)} - \frac{\log{\left(25 x^{2} + 1 \right)}}{10}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \operatorname{atan}{\left(5 x \right)} - \frac{\log{\left(25 x^{2} + 1 \right)}}{10}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  log(26)          
- ------- + atan(5)
     10            

$$- \frac{\log{\left(26 \right)}}{10} + \operatorname{atan}{\left(5 \right)}$$

=

=

  log(26)          
- ------- + atan(5)
     10            

$$- \frac{\log{\left(26 \right)}}{10} + \operatorname{atan}{\left(5 \right)}$$

Численный ответ

1.04759111314287

Ответ (Неопределённый)

  /                      /        2\              
 |                    log\1 + 25*x /              
 | atan(5*x) dx = C - -------------- + x*atan(5*x)
 |                          10                    
/                                                 

$$\int \operatorname{atan}{\left(5 x \right)}\, dx = C + x \operatorname{atan}{\left(5 x \right)} - \frac{\log{\left(25 x^{2} + 1 \right)}}{10}$$

График