Интеграл atan(y/x) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |      /y\   
 |  atan|-| dx
 |      \x/   
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{x} \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\frac{y}{x} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{y}{x^{2} \left(1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}\right)}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{y}{x \left(1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}\right)}\, dx = - y \int \frac{1}{x \left(1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}\right)}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x \left(1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}\right)} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}$

      2. пусть $u = x^{2} + y^{2}$.

         Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + y^{2} \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x \left(1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}\right)} = \frac{1}{x + \frac{y^{2}}{x}}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{x + \frac{y^{2}}{x}} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}$

      3. пусть $u = x^{2} + y^{2}$.

         Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + y^{2} \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{y}{2} \log{\left (x^{2} + y^{2} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \operatorname{atan}{\left (\frac{y}{x} \right )} + \frac{y}{2} \log{\left (x^{2} + y^{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \operatorname{atan}{\left (\frac{y}{x} \right )} + \frac{y}{2} \log{\left (x^{2} + y^{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

     /     2\        / 2\          
y*log\1 + y /   y*log\y /          
------------- - --------- + atan(y)
      2             2              

$$- \frac{y \log{\left(y^{2} \right)}}{2} + \frac{y \log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} + \operatorname{atan}{\left(y \right)}$$

=

=

     /     2\        / 2\          
y*log\1 + y /   y*log\y /          
------------- - --------- + atan(y)
      2             2              

$$- \frac{y \log{\left(y^{2} \right)}}{2} + \frac{y \log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} + \operatorname{atan}{\left(y \right)}$$

Ответ (Неопределённый)

                                  /   /     2\         \
                                  |   |    y |         |
  /                               |log|1 + --|         |
 |                                |   |     2|         |
 |     /y\                /y\     |   \    x /         |
 | atan|-| dx = C + x*atan|-| + y*|----------- + log(x)|
 |     \x/                \x/     \     2              /
 |                                                      
/                                                       

$$\int \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{x} \right)}\, dx = C + x \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{x} \right)} + y \left(\log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(1 + \frac{y^{2}}{x^{2}} \right)}}{2}\right)$$