Интеграл atan(x)*x (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |  atan(x)*x dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} x \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left(x \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

      Результат есть: $x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1   pi
- - + --
  2   4 

$$- \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$$

=

=

  1   pi
- - + --
  2   4 

$$- \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$$

Численный ответ

0.285398163397448

Ответ (Неопределённый)

  /                                  2        
 |                    atan(x)   x   x *atan(x)
 | atan(x)*x dx = C + ------- - - + ----------
 |                       2      2       2     
/                                             

$$\int x \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$$

График