Интеграл 4/(1-5*x) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     4      
 |  ------- dx
 |  1 - 5*x   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{4}{- 5 x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{4}{- 5 x + 1}\, dx = 4 \int \frac{1}{- 5 x + 1}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = - 5 x + 1$.

         Тогда пусть $du = - 5 dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{1}{5} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{5} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{5} \log{\left (- 5 x + 1 \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{- 5 x + 1} = - \frac{1}{5 x - 1}$

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{5 x - 1}\, dx = - \int \frac{1}{5 x - 1}\, dx$

         1. пусть $u = 5 x - 1$.

            Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{5} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{5} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{5} \log{\left (5 x - 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{5} \log{\left (5 x - 1 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{4}{5} \log{\left (- 5 x + 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{4}{5} \log{\left (- 5 x + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{4}{5} \log{\left (- 5 x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{4}{5} \log{\left (- 5 x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                 
  /                                 
 |                                  
 |     4           4*log(4)   4*pi*I
 |  ------- dx = - -------- + ------
 |  1 - 5*x           5         5   
 |                                  
/                                   
0                                   

$$-{{4\,\log 4}\over{5}}$$

Численный ответ

-1.95270095426227

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 |    4             4*log(1 - 5*x)
 | ------- dx = C - --------------
 | 1 - 5*x                5       
 |                                
/                                 

$$-{{4\,\log \left(1-5\,x\right)}\over{5}}$$