Интеграл 4*cos(x)^(3) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |       3      
 |  4*cos (x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} 4 \cos^{3}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 4 \cos^{3}{\left (x \right )}\, dx = 4 \int \cos^{3}{\left (x \right )}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{3}{\left (x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )}$

   2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

         $\int - u^{2} + 1\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} = - \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (x \right )}$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

         Результат есть: $- \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{4}{3} \sin^{3}{\left (x \right )} + 4 \sin{\left (x \right )}$

2. Теперь упростить:

   $3 \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $3 \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$3 \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                    
  /                                    
 |                                 3   
 |       3                    4*sin (1)
 |  4*cos (x) dx = 4*sin(1) - ---------
 |                                3    
/                                      
0                                      

$$-{{4\,\left(\sin ^31-3\,\sin 1\right)}\over{3}}$$

Численный ответ

2.57145295711031

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                                    3   
 |      3                        4*sin (x)
 | 4*cos (x) dx = C + 4*sin(x) - ---------
 |                                   3    
/                                         

$$4\,\left(\sin x-{{\sin ^3x}\over{3}}\right)$$