Интеграл (4*x-3)^5 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           5   
 |  (4*x - 3)  dx
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} \left(4 x - 3\right)^{5}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 x - 3$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u^{5}}{16}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{5}}{4}\, du = \frac{\int u^{5}\, du}{4}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{6}}{24}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(4 x - 3\right)^{6}}{24}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(4 x - 3\right)^{5} = 1024 x^{5} - 3840 x^{4} + 5760 x^{3} - 4320 x^{2} + 1620 x - 243$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1024 x^{5}\, dx = 1024 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{512 x^{6}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 3840 x^{4}\right)\, dx = - 3840 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $- 768 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5760 x^{3}\, dx = 5760 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $1440 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 4320 x^{2}\right)\, dx = - 4320 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- 1440 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1620 x\, dx = 1620 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $810 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-243\right)\, dx = - 243 x$

      Результат есть: $\frac{512 x^{6}}{3} - 768 x^{5} + 1440 x^{4} - 1440 x^{3} + 810 x^{2} - 243 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(4 x - 3\right)^{6}}{24}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(4 x - 3\right)^{6}}{24}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\left(4 x - 3\right)^{6}}{24}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-91/3

$$- \frac{91}{3}$$

=

=

-91/3

$$- \frac{91}{3}$$

Численный ответ

-30.3333333333333

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              6
 |          5          (4*x - 3) 
 | (4*x - 3)  dx = C + ----------
 |                         24    
/                                

$$\int \left(4 x - 3\right)^{5}\, dx = C + \frac{\left(4 x - 3\right)^{6}}{24}$$

График