Интеграл 4^(3-5*x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   3 - 5*x   
 |  4        dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} 4^{- 5 x + 3}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - 5 x + 3$.

      Тогда пусть $du = - 5 dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$:

      $\int 4^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4^{u}\, du = - \frac{1}{5} \int 4^{u}\, du$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left (4 \right )}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{4^{u}}{5 \log{\left (4 \right )}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{4^{- 5 x + 3}}{5 \log{\left (4 \right )}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $4^{- 5 x + 3} = 64 \cdot 4^{- 5 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 64 \cdot 4^{- 5 x}\, dx = 64 \int 4^{- 5 x}\, dx$

      1. пусть $u = - 5 x$.

         Тогда пусть $du = - 5 dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$:

         $\int 4^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 4^{u}\, du = - \frac{1}{5} \int 4^{u}\, du$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left (4 \right )}}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{4^{u}}{5 \log{\left (4 \right )}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{4^{- 5 x}}{5 \log{\left (4 \right )}}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{64 \cdot 4^{- 5 x}}{5 \log{\left (4 \right )}}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{32 \cdot 1024^{- x}}{5 \log{\left (2 \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{32 \cdot 1024^{- x}}{5 \log{\left (2 \right )}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{32 \cdot 1024^{- x}}{5 \log{\left (2 \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |   3 - 5*x         1023   
 |  4        dx = ----------
 |                160*log(2)
/                           
0                           

$${{1023}\over{80\,\log 4}}$$

Численный ответ

9.22423141768381

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    3 - 5*x
 |  3 - 5*x          4       
 | 4        dx = C - --------
 |                   5*log(4)
/                            

$$-{{4^{3-5\,x}}\over{5\,\log 4}}$$