Интеграл dy/(1+y^2) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |      1      
 |  1*------ dy
 |         2   
 |    1 + y    
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{y^{2} + 1}\, dy$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /             
 |              
 |       1      
 | 1*1*------ dy
 |          2   
 |     1 + y    
 |              
/               

Перепишем подинтегральную функцию

    1              1        
1*------ = -----------------
       2     /        2    \
  1 + y    1*\(-y + 0)  + 1/

или

  /               
 |                
 |       1        
 | 1*1*------ dy  
 |          2    =
 |     1 + y      
 |                
/                 
  

  /                
 |                 
 |       1         
 | ------------- dy
 |         2       
 | (-y + 0)  + 1   
 |                 
/                  

В интеграле

  /                
 |                 
 |       1         
 | ------------- dy
 |         2       
 | (-y + 0)  + 1   
 |                 
/                  

сделаем замену

v = -y

тогда

интеграл =

  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv = atan(v)
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/                     

делаем обратную замену

  /                          
 |                           
 |       1                   
 | ------------- dy = atan(y)
 |         2                 
 | (-y + 0)  + 1             
 |                           
/                            

Решением будет:

C + atan(y)

Ответ

pi
--
4 

$$\frac{\pi}{4}$$

=

=

pi
--
4 

$$\frac{\pi}{4}$$

Численный ответ

0.785398163397448

Ответ (Неопределённый)

  /                         
 |                          
 |     1                    
 | 1*------ dy = C + atan(y)
 |        2                 
 |   1 + y                  
 |                          
/                           

$$\int 1 \cdot \frac{1}{y^{2} + 1}\, dy = C + \operatorname{atan}{\left(y \right)}$$

График