Интеграл dx/(4*x+3)^5 (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |        1        
 |  1*---------- dx
 |             5   
 |    (4*x + 3)    
 |                 
/                  
0                  

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\left(4 x + 3\right)^{5}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(4 x + 3\right)^{5}} = \frac{1}{\left(4 x + 3\right)^{5}}$

   2. пусть $u = 4 x + 3$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{16 u^{4}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{16 \left(4 x + 3\right)^{4}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(4 x + 3\right)^{5}} = \frac{1}{1024 x^{5} + 3840 x^{4} + 5760 x^{3} + 4320 x^{2} + 1620 x + 243}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{1024 x^{5} + 3840 x^{4} + 5760 x^{3} + 4320 x^{2} + 1620 x + 243} = \frac{1}{\left(4 x + 3\right)^{5}}$

   3. пусть $u = 4 x + 3$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{16 u^{4}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{16 \left(4 x + 3\right)^{4}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{16 \left(4 x + 3\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{16 \left(4 x + 3\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

 145  
------
194481

$$\frac{145}{194481}$$

=

=

 145  
------
194481

$$\frac{145}{194481}$$

Численный ответ

0.000745574117780143

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                   
 |                                                                    
 |       1                                     1                      
 | 1*---------- dx = C - ---------------------------------------------
 |            5                       4                   3          2
 |   (4*x + 3)           1296 + 4096*x  + 6912*x + 12288*x  + 13824*x 
 |                                                                    
/                                                                     

$$\int 1 \cdot \frac{1}{\left(4 x + 3\right)^{5}}\, dx = C - \frac{1}{4096 x^{4} + 12288 x^{3} + 13824 x^{2} + 6912 x + 1296}$$

График