Интеграл dx/sqrt(a^2-x^2) (dx)

Вы ввели

  1                  
  /                  
 |                   
 |         1         
 |  1*------------ dx
 |       _________   
 |      /  2    2    
 |    \/  a  - x     
 |                   
/                    
0                    

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$

2. Thесть integral must be done piecewестьe.

   For the interval where $a^{2} > 0$:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}\, dx = \frac{1}{\sqrt{a^{2}}} \int \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}}}\, dx$

      1. пусть $u = x \sqrt{\frac{1}{a^{2}}}$.

         Тогда пусть $du = \sqrt{\frac{1}{a^{2}}} dx$ и подставим $du \sqrt{a^{2}}$:

         $\int \frac{\sqrt{a^{2}}}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sqrt{a^{2}}}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, dx = \sqrt{a^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, dx$

            ArcsinRule(context=1/sqrt(-u**2 + 1), symbol=u)

            Таким образом, результат будет: $\sqrt{a^{2}} \operatorname{asin}{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\sqrt{a^{2}} \operatorname{asin}{\left (x \sqrt{\frac{1}{a^{2}}} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\operatorname{asin}{\left (x \sqrt{\frac{1}{a^{2}}} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \operatorname{asin}{\left (x \sqrt{\frac{1}{a^{2}}} \right )} & \text{for}\: a^{2} > 0 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} \operatorname{asin}{\left (x \sqrt{\frac{1}{a^{2}}} \right )} & \text{for}\: a^{2} > 0 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                             
  /                                             
 |                                              
 |  /                                  2        
 |  |           -I                    x         
 |  |--------------------------  for ---- > 1   
 |  |      _______     ________      | 2|       
 |  |     /     x     /      x       |a |       
 |  |a*  /  1 + - *  /  -1 + -                  
 |  |  \/       a  \/        a                  
 |  |                                           
 |  <            1                            dx
 |  |     ----------------        otherwise     
 |  |             ________                      
 |  |            /      2                       
 |  |           /      x                        
 |  |     a*   /   1 - --                       
 |  |         /         2                       
 |  |       \/         a                        
 |  \                                           
 |                                              
/                                               
0                                               

$$\int\limits_{0}^{1} \begin{cases} - \frac{i}{a \sqrt{-1 + \frac{x}{a}} \sqrt{1 + \frac{x}{a}}} & \text{for}\: \frac{x^{2}}{\left|{a^{2}}\right|} > 1 \\\frac{1}{a \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}}} & \text{otherwise} \end{cases}\, dx$$

=

=

  1                                             
  /                                             
 |                                              
 |  /                                  2        
 |  |           -I                    x         
 |  |--------------------------  for ---- > 1   
 |  |      _______     ________      | 2|       
 |  |     /     x     /      x       |a |       
 |  |a*  /  1 + - *  /  -1 + -                  
 |  |  \/       a  \/        a                  
 |  |                                           
 |  <            1                            dx
 |  |     ----------------        otherwise     
 |  |             ________                      
 |  |            /      2                       
 |  |           /      x                        
 |  |     a*   /   1 - --                       
 |  |         /         2                       
 |  |       \/         a                        
 |  \                                           
 |                                              
/                                               
0                                               

$$\int\limits_{0}^{1} \begin{cases} - \frac{i}{a \sqrt{-1 + \frac{x}{a}} \sqrt{1 + \frac{x}{a}}} & \text{for}\: \frac{x^{2}}{\left|{a^{2}}\right|} > 1 \\\frac{1}{a \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}}} & \text{otherwise} \end{cases}\, dx$$

Ответ (Неопределённый)

                           //                 | 2|    \
  /                        ||        /x\      |x |    |
 |                         ||-I*acosh|-|  for |--| > 1|
 |        1                ||        \a/      | 2|    |
 | 1*------------ dx = C + |<                 |a |    |
 |      _________          ||                         |
 |     /  2    2           ||      /x\                |
 |   \/  a  - x            ||  asin|-|     otherwise  |
 |                         \\      \a/                /
/                                                      

$$\int 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}\, dx = C + \begin{cases} - i \operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{a} \right)} & \text{for}\: \left|{\frac{x^{2}}{a^{2}}}\right| > 1 \\\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{a} \right)} & \text{otherwise} \end{cases}$$