Интеграл (9*x+2)^4 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           4   
 |  (9*x + 2)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(9 x + 2\right)^{4}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 9 x + 2$.

      Тогда пусть $du = 9 dx$ и подставим $\frac{du}{9}$:

      $\int u^{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{4}\, du = \frac{1}{9} \int u^{4}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{5}}{45}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{45} \left(9 x + 2\right)^{5}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(9 x + 2\right)^{4} = 6561 x^{4} + 5832 x^{3} + 1944 x^{2} + 288 x + 16$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 6561 x^{4}\, dx = 6561 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{6561 x^{5}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5832 x^{3}\, dx = 5832 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $1458 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1944 x^{2}\, dx = 1944 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $648 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 288 x\, dx = 288 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $144 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 16\, dx = 16 x$

      Результат есть: $\frac{6561 x^{5}}{5} + 1458 x^{4} + 648 x^{3} + 144 x^{2} + 16 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{45} \left(9 x + 2\right)^{5}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{45} \left(9 x + 2\right)^{5}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{45} \left(9 x + 2\right)^{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |           4             
 |  (9*x + 2)  dx = 17891/5
 |                         
/                          
0                          

$${{17891}\over{5}}$$

Численный ответ

3578.2

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              5
 |          4          (9*x + 2) 
 | (9*x + 2)  dx = C + ----------
 |                         45    
/                                

$${{6561\,x^5}\over{5}}+1458\,x^4+648\,x^3+144\,x^2+16\,x$$